정치행렬

정치행렬, 정부호 행렬은 에르미트 행렬의 일종으로, 특정한 성질을 가지는 행렬에 대해 양수/음수와 같이 부호를 정의하는 것으로 생각할 수 있다.

정의

복소수 위에서의 에르미트 행렬 $M$이 0이 아닌 모든 벡터 $x$에 대해 $x^* M x > 0$을 만족할 경우 이 행렬은 양정치행렬, 양의 정부호 행렬(positive-definite matrix)이라고 정의한다. 반대로, 항상 $x^* M x < 0$일 경우는 음정치행렬, 음의 정부호 행렬(negative-definite matrix)이라고 정의한다.

또한, $x^* M x \ge 0$를 만족할 경우 이 행렬은 양반정치행렬, 양의 준정부호 행렬(positive-semidefinite matrix, nonnegative-definite matrix), 마찬가지로 $x^* M x \le 0$의 경우는 음반정치행렬, 음의 준정부호 행렬(negative-semidefinite matrix)이라고 정의한다.

양반정치행렬도 아니고 음반정치행렬도 아닌 경우는 부정부호 행렬(indefinite matrix)이라고 정의한다.

실수체에서 정의하는 경우, 에르미트 행렬 대신 대칭행렬 $M$, 켤레전치 $x^*$대신 전치 $x^T$를 사용한다.

에르미트 행렬이 아닌 경우에 대한 정의

에르미트 행렬이 아닌 경우는 일반적으로 통일된 정의가 존재하지 않는다. 특히, 행렬 $M$이 에르미트 행렬이 아닐 경우 $x^* M x$가 실수가 아닐 수 있고, 이 경우 부호를 정의하는 것이 어렵다.

일부 저자의 경우 $Re(x^* M x)$의 부호를 사용하여 정의한다. 즉, 0이 아닌 모든 벡터 $x$에 대해 $Re(x^* M x) > 0$인 경우 양정치행렬로 정의하는 방식을 사용한다.

예제

행렬 $M_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$은 정치행렬이다. 모든 복소수 벡터 $x = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1\end{bmatrix}$에 대해, $\begin{bmatrix} \bar{x_0} & \bar{x_1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1\end{bmatrix}= \bar{x_0}x_0 + \bar{x_1}{x_1}$이 되고, $x_0$이나 $x_1$이 둘 다 0이 아니라면 이 값은 0보다 크다. 실수 범위에서만 생각할 경우 $\bar{x_0}x_0 + \bar{x_1}{x_1} = x_0^2 + x_1^2$가 되고, 역시 모든 실수에 대해 동일한 성질이 성립한다.

반면, $M_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$은 정치행렬이 아니다. $x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}$에 대해서 $x^* M x = -2$가 되기 때문이다.

성질

$n \times n$ 복소수 정치행렬 $M$에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다.

• 고유값이 모두 양수이다.
• 임의의 두 벡터 $x, y$에 대해 $<x, y> = x^* M y$로 내적을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 벡터공간 $\mathbb{C}^n$에서 정의할 수 있는 내적은 모두 정치행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다.
• $M$은 그람 행렬이다. 즉, 어떠한 선형 독립인 벡터 $x_1, \cdots, x_n$가 존재하여, $M_{ij} = x_i^*x_j$가 성립한다.
• $M = L L^*$이 성립하는 하삼각행렬 $L$이 유일하게 존재한다. 이러한 분해를 촐레스키 분해라고 부른다.