대수적 정수환

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(정수 환에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

수론에서 대수적 수체대수적 정수환(代數的整數環, 영어: ring of algebraic integers) 또는 단순히 정수환이란 대수적 수체에서 유리 정수들의 환 \mathbb Z와 유사한 역할을 하는 부분환이다.

유리수\mathbb Q의 정수환은 통상적인 정수들 \mathbb Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}이다. 이 글에서는 \mathbb Z의 원소를 유리 정수(영어: rational integer)로 일컫고, 대수적 정수란 일반적인 정수환의 원소를 일컫는다.

용어[편집]

K대수적 수체 (유리수체 \mathbb Q의 유한 차원 확대)라고 하자. 그렇다면 K대수적 정수(영어: algebraic integer)는 최고차항의 계수가 1이고, 다른 계수가 유리 정수인 다항식

x^n+k_{n-1}x^{n-1}+k_{n-2}x^{n-2}+\dotsb+k_1x+k_0=0

K에서의 근이다. K정수환 \mathcal O_KK의 대수적 정수들의 환이다.

성질[편집]

수체의 정수환은 항상 데데킨트 정역이며, 이에 따라 그 크룰 차원이 1이다. 대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다.