정상순서

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정상순서(正常順序, 영어: normal order) 또는 윅 순서(Wick order)란 여러 개의 생성연산자와 소멸연산자의 곱을, 생성연산자가 소멸연산자의 왼쪽으로 오도록 정렬하는 과정이다. 윅의 정리에 쓰인다. 기호는 $N[\cdots]$ 또는 $:\cdots:$.

보존의 정상순서

정상순서의 계산은 페르미온인 경우와 보존인 경우가 다르다. 보존의 경우는 더 간단한데, 다음과 같다. 생성연산자를 $a^\dagger$, 소멸연산자를 $a$로 쓰자. 그렇다면 둘의 곱을 정상순서화하면 다음과 같다.

$:a^\dagger a:=a^\dagger a$

$:aa^\dagger:=a^\dagger a$

둘 이상의 연산자를 곱해도 같은 원리를 따른다. 예를 들어,

$:aa^\dagger aaa^\dagger a^\dagger:=(a^\dagger)^3a^3.$

여러 종의 보존이 있을 경우도 마찬가지다. 서로 다른 종의 보존의 생성연산자 (또는 소멸연산자)는 종에 상관없이 교환가능하므로, 종 사이의 순서는 상관없다.

페르미온의 정상순서

페르미온의 경우는 페르미-디랙 통계에 따라, −1의 계수가 생길 수 있어 좀 더 복잡하다. 정의는 다음과 같다.

$:a^\dagger a:=a^\dagger a$

$:aa^\dagger:=-a^\dagger a$

둘 이상의 연산자를 곱할 경우, 연산자를 교환한 수 만큼 (즉, 순열의 전반성에 따라) −1을 곱한다.

윅의 정리

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윅의 정리(Wick's theorem)는 다음과 같다.

$\phi_{i_1}(x_1)\cdots \phi_{i_N}(x_N)=\sum_\textrm{all\ possible\ pairs\ of\ contractions}:\phi_{i_1}(x_1)\cdots \phi_{i_N}(x_N):$

윅의 정리는 연산자의 진공 기대 값(vacuum expectation values)을 계산하기 위한 간단한 방법을 제공해 준다.

참고

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)