정부호행렬

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정부호행렬(定符號行列, 영어: definite matrix)은 에르미트 행렬의 일종으로, 특정한 성질을 가지는 행렬에 대해 양수/음수와 같이 부호를 정의하는 것으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

에르미트 행렬고윳값은 항상 실수다. 에르미트 행렬 M은 그 고윳값의 부호에 따라서 다음과 같이 분류한다.

  • 모든 고윳값이 음수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 x에 대해 x^* M x\ge0인 경우) M양의 준정부호행렬(陽-準定符號行列, 영어: positive-semidefinite matrix)이다.
    • 모든 고윳값이 양수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 x에 대해 x^* M x > 0인 경우) M양의 정부호행렬(陽-定符號行列, 영어: positive-definite matrix)이다.
  • 모든 고윳값이 양수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 x에 대해 x^* M x\le0인 경우) M음의 준정부호행렬(陰-準定符號行列, 영어: negative-semidefinite matrix)이다.
    • 모든 고윳값이 음수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 x에 대해 x^* M x < 0인 경우) M음의 정부호 행렬(陰-定符號行列, 영어: negative-definite matrix)이다.
  • 양의 준정부호 또는 음의 준정부호가 아닌 경우 (즉, 양수 및 음수 고윳값을 둘 다 가진 경우) M부정부호행렬(不定符號行列, 영어: indefinite matrix)이다.

실수체에서 정의하는 경우, 에르미트 행렬 대신 대칭행렬 M, 켤레전치 x^*대신 전치 x^T를 사용한다.

에르미트 행렬이 아닌 경우에 대한 정의[편집]

에르미트 행렬이 아닌 경우는 일반적으로 통일된 정의가 존재하지 않는다. 특히, 행렬 M이 에르미트 행렬이 아닐 경우 x^* M x가 실수가 아닐 수 있고, 이 경우 부호를 정의하는 것이 어렵다.

일부 저자의 경우 Re(x^* M x)의 부호를 사용하여 정의한다. 즉, 0이 아닌 모든 벡터 x에 대해 Re(x^* M x) > 0인 경우 양정치행렬로 정의하는 방식을 사용한다.

예제[편집]

행렬  M_0 =  \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} 은 양의 정부호행렬이다. 모든 복소수 벡터 x = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1\end{bmatrix}에 대해,  \begin{bmatrix} \bar{x_0} & \bar{x_1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1\end{bmatrix}= \bar{x_0}x_0 + \bar{x_1}{x_1}이 되고, x_0이나 x_1이 둘 다 0이 아니라면 이 값은 0보다 크다. 실수 범위에서만 생각할 경우 \bar{x_0}x_0 + \bar{x_1}{x_1} = x_0^2 + x_1^2가 되고, 역시 모든 실수에 대해 동일한 성질이 성립한다.

반면,  M_1 =  \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} 은 부정부호행렬이다. x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}에 대해서 x^* M x = -2가 되기 때문이다.

성질[편집]

n \times n 복소수 양의 정부호행렬 M에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다.

  • 고윳값이 모두 양수이다.
  • 임의의 두 벡터 x, y에 대해 <x, y> = x^* M y내적을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 벡터공간 \mathbb{C}^n에서 정의할 수 있는 내적은 모두 양의 정부호행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다.
  • M그람 행렬이다. 즉, 어떠한 선형 독립인 벡터 x_1, \cdots, x_n가 존재하여, M_{ij} = x_i^*x_j가 성립한다.
  • M = L L^*이 성립하는 하삼각행렬 L이 유일하게 존재한다. 이러한 분해를 촐레스키 분해라고 부른다.