접속 (수학)

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기하학에서 접속(connection)은 벡터 등을 곡선을 따라 '평행하게' 옮겨가는 작업을 체계화한 것이다.

접속을 이용하면 한 점에서의 국소적 기하를 다른 점에서의 국소적 기하와 직접 비교할 수 있으며, 이로써 접속의 개념은 현대의 기하학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다. 미분기하학에는 접속의 개념이 여러 형태로 등장하는데, 이는 크게 국소적 이론과 무한소 이론으로 나눌 수 있다. 국소적 이론은 주로 평행 수송홀로노미 등을 다루며, 무한소 이론은 기하학적 정보의 미분을 다룬다. 예를 들어 공변 미분다양체 상의 벡터장을 다른 벡터장에 대해 미분하는 한 방법이며, 카르탕 접속미분형식리 군을 이용해 접속의 이론을 형식화한다.

역사[편집]

역사적으로 접속은 리만 기하학에서 무한소적 관점으로 다루어졌다. 이는 일정 부분 크리스토펠의 연구로 시작되었으며, 나중에 그레고리오 리치쿠르바스트로툴리오 레비치비타가 크리스토펠이 사용한 의미의 접속을 이용하면 평행 수송의 개념을 만들 수 있음을 발견하면서 보다 큰 관심을 받게 되었다.[1]

레비치비타는 접속을 일종의 미분작용소로, 평행 변위를 미분방정식의 해로 보았다. 20세기에 엘리 카르탕파프계의 기술을 펠릭스 클라인에를랑겐 프로그램에 적용하려고 하면서 접속의 새로운 개념을 개발해냈다. 그는 자신의 카르탕 접속이 고전적인 클라인 기하학에는 존재하지 않는 곡률의 개념을 제공한다는 것을 알아차렸다.[2][3] 뿐만 아니라 카르탕은 다르부의 동역학을 이용해 평행이동을 카르탕 접속에 대해 일반화시키고, 이를 통해 접속을 미분형식의 한 종류로 보는 새로운 흐름이 나타났다.

아핀 접속[편집]

M이 매끈한 다양체이고 C(M,TM)이 M 상의 벡터장들의 공간 - 즉, 접다발 TM의 매끈한 단면들의 공간 - 이라 하자. 이때 M 상의 아핀 접속이란 이중선형사상

\begin{matrix}
C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\
(X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y
\end{matrix}

으로서 임의의 매끈한 함수 f ∈ C(M,R)와 임의의 M 상의 벡터장 X, Y에 대해 다음의 조건

  1. \nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y, 즉, ∇는 첫 번째 변수에 대해 C(M,R)-선형이다
  2. \nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY, 즉, ∇는 두 번째 변수에 대해 라이프니츠 법칙을 만족시킨다

이 참인 경우이다.

기초적 성질[편집]

  • 위의 조건 (1)로부터 ∇XY의 점 x ∈ M에서의 값은 X의 x에서의 값에만 의존하며 M-{x}에서의 값에는 무관함을 할 수 있다. 또한 조건 (2)로부터 ∇XY의 점 x ∈ M에서의 값은 Y의 x 근방에서의 값에만 의존함을 알 수 있다.
  • 1과 ∇2가 아핀 접속일 때, ∇1XY - ∇2XY의 점 x에서의 값을 Γx(Xx,Yx)로 쓰자. 이때
Γx: TxM × TxM → TxM
는 이중선형이며 x에 매끈하게 의존한다. (즉, 이는 매끈한 다발 준동형사상이 된다.)
  • M이 Rn의 열린 부분집합일 때, M의 접다발은 자명한 다발 M×Rn이 되며, 따라서 임의의 벡터장 Y를 M에서 Rn으로의 매끈한 함수 V로 나타낼 수 있다. 이때 M에서 Rn으로의 매끈한 함수 dV(X)=∂XY에 대응되는 벡터장을 dXY로 쓰면 d는 M 상의 자연스러운 아핀 접속이 된다. 임의의 다른 아핀 접속 ∇는 d + Γ로 나타낼 수 있다. (여기에서 Γ는 접속 형식.)
  • 보다 일반적으로, 접다발의 국소적 자명화는 TM을 M의 열린 집합 U로 제한시킨 것으로부터 M×Rn로의 올 동형사상이다. 아핀 접속 ∇를 U로 제한시킨 것은 적절한 접속 형식 Γ에 대해 d + Γ로 나타낼 수 있다.

참고자료[편집]

  1. Levi-Civita, T. and Ricci, G. "Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications", Math. Ann. B, 54 (1900) 125-201.
  2. Cartan, E. "Sur les varietes a connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique, 52 (1924) 205-241.
  3. Cartan, E., Geometry of Riemannian spaces, Math Sci Press, 1983.