절대 연속

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해석학에서, 절대 연속(絶對連續, 영어: absolute continuity)는 함수에 대한, 일반적인 연속성이나 균등연속보다 더 강한 조건이다. 미적분학의 기본정리가 성립할 필요조건이다.

정의[편집]

(X,d)거리공간이라고 하자. 구간 I\subset\mathbb R 위에 정의된 함수 f\colon I\to X가 다음 조건을 만족시키면, 이를 절대 연속이라 한다.

모든 \epsilon>0에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 \delta_\epsilon>0가 존재한다.
어떤 임의의 유한 부분개구간열 (x_k,y_k)\subset I에 대하여, 그 길이들의 합이 \delta_\epsilon 미만이라면 (\sum_k(y_k-x_k)<\delta_\epsilon), \sum_k d(f(y_k),f(x_k))<\epsilon이다.

이 정의에서, \delta_\epsilon\epsilon에 의존할 수 있지만 (x_k,y_k)에는 의존할 수 없다.

성질[편집]

다음 세 조건들은 서로 동치이다.

f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)\,dt
이다.
  • 다음 조건들을 만족하는 g\colon[a,b]\to\mathbb R가 존재한다.

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연속함수이지만 절대 연속함수가 아닌 함수의 예로는 다음을 들 수 있다.

  • 0을 포함하는 구간 위에 정의된 함수
f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{if } x \neq 0 \end{cases}
  • 무한한 길이의 구간 위의 f(x)=x^2

참고 문헌[편집]

  • (영어) Ambrosio, Luigi, Nicola Gigli, Giuseppe Savaré (2005년). 《Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures》. Birkhäuser. ISBN 3-7643-2428-7
  • (영어) Athreya, Krishna B., Soumendra N. Lahiri (2006년). 《Measure theory and probability theory》. Springer. ISBN 0-387-32903-X
  • (영어) Nielsen, Ole A. (1997년). 《An introduction to integration and measure theory》. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-59518-7
  • (영어) Royden, H.L. (1988년). 《Real Analysis》, 3판, Collier Macmillan. ISBN 0-02-404151-3

바깥 고리[편집]