전해석함수

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복소해석학에서 전해석함수(全解析函數, entire function) 또는 정함수(整函數, integral function)란 복소평면의 모든 점에서 해석적인 복소함수를 말한다. 전해석함수는 다항함수(polynomial)와 초월전해석함수(다항함수가 아닌 전해석함수, transcendental entire function)로 구분할 수 있다.

정의[편집]

함수 f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} 가 복소평면 \mathbb{C} 위의 모든 점에서 해석적이면  f 를 전해석함수라고 한다. 그러므로 전해석함수는 복소평면 위의 모든 점에서 무한번 미분가능한 함수이고, 테일러 급수로 나타낼 수 있으며, 코시-리만 방정식을 만족하는 복소함수이다.

  • 복소수 평면 \mathbb{C} 전체에서 해석적인 함수를 특별히 전해석함수(entire function)라고 한다. (출처 : 해석함수)

전해석함수를 급수로 나타냈을 때 유한급수인 것이 다항함수이고, 무한급수로 나타나는 것이 초월전해석함수이다. 예를 들어  f(z)=1+2z-3z^2다항함수이고,  e^z =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n초월전해석함수이다.

성질[편집]

리우빌의 정리 - 유계(bounded)인 전해석함수는 상수함수뿐이다. 리우빌의 정리 - 유계(bounded) 는 전해석함수의 중요한 특성을 나타내고 있다. 이 정리에 따라 상수함수가 아닌 전해석함수는 반드시 무한점, \infty특이점(singular point)으로 갖는다. 무한 특이점은 (pole) 또는 진성특이점(essential singularity)이며, 무한 특이점에서 (극점)을 갖는 전해석함수는 다항함수이고, 진성특이점을 갖는 함수는 초월전해석함수이다.

피카르의 소정리 - 상수함수가 아닌 전해석함수는 모든 복소수  c \in \mathbb{C}를 함수값으로 취한다. 그렇지 않은 값이 있다면 그 수는 하나뿐이다. 즉  f 가 상수함수가 아닌 전해석함수이면 모든 복소수  c \in \mathbb{C}에 대해  f (z)=c 인 점  z \in \mathbb{C}가 존재하며 그렇지 않은 점 c는 기껏해야 하나뿐이라는 것이다. 예를 들어  e^z=cc=0 인 경우를 제외하고 항상 해를 갖는다. 피카르의 소정리는 리우빌의 정리보다 수학적으로 강한 의미를 갖는다.