자이페르트 올공간

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위상수학에서, 자이페르트 올공간(영어: Seifert fiber space)은 "좋은" 원 올다발으로의 표현을 갖춘 3차원 다양체이다.

정의[편집]

r\in\mathbb Q가 유리수라고 하자. 그렇다면 원기둥 B_2\times I=\{z\in\mathbb C\colon|z|\le1\}\times[0,1]의 양끝을 다음과 같은 사상으로 이어붙일 수 있다.

(z,0)\sim(\exp(2\pi ir)z,1) (z\le1)

이렇게 취한 몫공간은 3차원 원환체 B_2\times S^1위상동형이며, 이를 표준올 원환체(영어: standard fibered torus)라고 한다. 만약 r\in\mathbb Z라면 이를 일반적 표준올 원환체(영어: ordinary standard fibered torus)라고 하며, 아니라면 예외적 표준올 원환체(영어: exceptional standard fibered torus)라고 한다.

자이페르트 올공간은 다음과 같은 성질을 만족시키는 올다발 \pi\colon M\twoheadrightarrow B이다.

  • M은 3차원 다양체이며, B는 2차원 오비폴드다. \pi의 올은 원 S^1이다.
  • 모든 올 \pi^{-1}(b) (b\in B)은 표준올 원환체와 올다발로서 동형인 근방을 가진다.

이 경우, B의 오비폴드 특이점들은 예외적 올들에 대응하고, 나머지 점들은 일반적 올에 대응한다. 콤팩트 자이페르트 올공간은 유한 개의 예외적 올들을 가진다.

자이페르트 다양체(영어: Seifert manifold)는 올다발 구조를 잊은 자이페르트 올공간이다. 렌즈 공간과 같은 일부 다양체들은 서로 다른 여러 자이페르트 올구조를 가질 수 있다.

분류[편집]

콤팩트 자이페르트 올공간은 모두 분류되었고, 그 분류는 다음과 같다. 자이페르트 올공간은 다음과 같은 기호를 가진다.

\{(\varepsilon,g);r_1,r_2,\dots\}

여기서

  • \varepsilon\in\{o_1,o_2,n_1,n_2,n_3,n_4\}은 다음과 같은 뜻을 가진다.
기호 다른 기호 B M \pi_1(B)의 올들의 향에 대한 작용 B의 다양체 피복의 종수
o1 Oo 가향 가향
o2 No 가향 비가향
n1 NnI 비가향 비가향 모두 보존
n2 On 비가향 가향 모두 역전
n3 NnII 비가향 비가향 정확히 하나의 생성원만이 보존 ≥2
n4 NnIII 비가향 비가향 정확히 두 개의 생성원만이 보존 ≥3
  • r_i\in\mathbb Qr_i-표준올 원환체의 존재를 나타낸다.

자이페르트 올공간의 기호는 다음과 같이 바꾸어도 같은 자이페르트 올공간에 대응한다.

  • 만약 \sum_in_i=0이고 n_i\in\mathbb Z라면 모든 r_i에 대하여 r_i\mapsto r_i+n_i로 바꾸어도 상관없다.
  • r=0인 올은 마음대로 추가하거나 생략할 수 있다.
  • M이 비가향이라면, r_i의 부호는 상관없다.

역사[편집]

헤르베르트 자이페르트(독일어: Herbert Seifert)가 1933년 도입하였다.[1] 자이페르트 다양체는 최초로 완전히 분류된 3차원 다양체였으며, 이후 3차원 다양체의 분류는 기하화 추측의 증명으로 완성되었다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Seifert, Herbert (1933년). Topologie dreidimensionalen gefaserter Räume. 《Acta Mathematica》 60: 147-238. JFM 59.1241.02.
  • Peter Orlik, Seifert manifolds, Lecture notes in mathematics 291, Springer (1972).
  • Frank Raymond, Classification of the actions of the circle on 3-manifolds, Trans. Amer.Math. Soc 31, (1968) 51-87.
  • William H. Jaco, Lectures on 3-manifold topology ISBN 0-8218-1693-4
  • William H. Jaco, Peter B. Shalen Seifert Fibered Spaces in Three Manifolds: Memoirs Series No. 220 (Memoirs of the American Mathematical Society; v. 21, no. 220) ISBN 0-8218-2220-9
  • (영어) Brin, Matthew G. (1993년). Seifert fibered spaces: notes for a course given in the spring of 1993. arXiv:0711.1346.
  • John Hempel, 3-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3695-1
  • G. Peter Scott, The geometries of 3-manifolds. (errata) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401-487.

바깥 고리[편집]

  • (영어) A.V. Chernavskii (2001). Seifert fibration. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.