자기수반작용소

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작용소 이론에서, 자기 수반 작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator)는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다.[1] 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

여기서, 모든 힐베르트 공간은 복소 힐베르트 공간이다.

힐베르트 공간 (\mathcal H,\langle\cdot|\cdot\rangle)조밀 부분공간 \operatorname{dom}A\subset\mathcal H에 정의된 선형변환 A\colon\operatorname{dom}A\to\mathcal H에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 작용소를 대칭 작용소(영어: symmetric operator)라고 한다.[1]:58–59

  • 모든 u,v\in\operatorname{dom}A에 대하여, \langle u|Av\rangle=\langle Au|v\rangle이다.
  • \operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*이며, 모든 u\in\operatorname{dom}A에 대하여 Au=A^*u이다. 여기서 A^*에르미트 수반이다.
  • 모든 u,v\in\operatorname{dom}A에 대하여, \langle u|Av\rangle\in\mathbb R이다.

대칭작용소의 경우 항상 \operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*이며, 따라서 \operatorname{dom}A^* 역시 조밀집합이다.

자기 수반 작용소 A\operatorname{dom}A=\operatorname{dom}A^*인 대칭 작용소이다.

성질[편집]

헬링거-퇴플리츠 정리(영어: Hellinger–Toeplitz theorem)에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계작용소이다.[1]:67

단사 자기 수반 작용소의 역은 자기 수반 작용소이다.[1]:65

유한 차원 힐베르트 공간 \mathbb C^n 위의 작용소 A에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

  • A는 대칭 작용소이다.
  • A는 자기 수반 작용소이다.
  • A의 행렬은 에르미트 행렬이다.

대칭 확장[편집]

대칭 작용소 A\colon\operatorname{dom}A\to\mathcal H대칭 확장(영어: symmetric extension)은 다음을 만족시키는 작용소 \tilde A\colon\operatorname{dom}\tilde A\to\mathcal H이다.

  • \operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}\tilde A
  • \forall v\in\operatorname{dom}A\colon Av=\tilde Av

자기 수반 확장(영어: self-adjoint extension)은 자기수반 작용소인 대칭 확장이다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.

대칭 연산자 A의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소일대일 대응한다.[1]:81–84

U\colon\operatorname{range}(A+i)^\perp\to\operatorname{range}(A-i)^\perp

(\operatorname{range}(A+i)^\perp\mathcal H의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.) 특히, A가 자기 수반 확장을 가질 필요충분조건

\dim\operatorname{range}(A+i)^\perp=\dim\operatorname{range}(A-i)^\perp

이다. 양변의 두 수를 A결점 지표(영어: deficiency index)라고 한다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Teschl, Gerald (2009년). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》, Graduate Studies in Mathematics 99. American Mathematical Society. MR2499016. Zbl 1166.81004. ISBN 978-0-8218-4660-5
  • (한국어) 곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1
  • (영어) Berezin, F. A., M. A. Shubin (1991년). 《The Schrödinger equation》. Klüwer
  • (영어) Hall, B. C. (2013년). 《Quantum Theory for Mathematicians》. New York: Springer
  • (영어) Reed, M., Barry Simon (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》. Academic Press
  • (영어) Bonneau, Guy, Jacques Faraut, Galliano Valent (2001년). Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics. 《American Journal of Physics》 69: 322–331. arXiv:quant-ph/0103153. doi:10.1119/1.1328351. Bibcode2001AmJPh..69..322B.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]