일반화 힘

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일반화 힘(generalized force)이란 라그랑주 역학에서 도입된 개념으로, 외부에서 입자 i에 작용한 힘을 일반화 좌표로 변환한 것을 의미한다.

정의[편집]

n개의 입자 중, i번째 입자에 외부에서 작용한 힘을 Fi라 하면, 이 때, 일반화 좌표 {q1, q2, …, qσ}에 대한 일반화 힘 Qσ은 다음과 같이 정의된다.

Q_\sigma = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot { \partial \mathbf{r}_i \over \partial q_\sigma}

유도[편집]

일반화 힘의 표현은 외부 힘에 대한 가상 일을 통해 얻는다. n개의 입자로 이루어진 를 생각해보자. 이 때, 가상 일 δW 는 외부 힘 Fi가상 변위 δri스칼라곱으로 나타난다.

\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i

여기서 δri는 다음과 같이 일반화 좌표에 대한 가상 변위 δqσ를 써서 표현할 수 있다.

\delta \mathbf{r}_i = \sum_\sigma {\partial \mathbf{r}_i \over \partial q_\sigma }\delta q_\sigma

이를 첫 번째 식에 대입하면, 가상 일을 일반화 좌표에 대한 가상 변위로 표현할 수 있는데,

\delta W = \sum_\sigma \left( \sum_{i=1}^n  \mathbf{F}_i \cdot {\partial \mathbf{r}_i \over \partial q_\sigma } \right) \delta q_\sigma

여기서, 괄호안의 부분 Qσ

Q_\sigma = \sum_i \mathbf{F}_i \cdot { \partial \mathbf{r}_i \over \partial q_\sigma}

를 일반화 힘이라 정의하고, 이에 대한 가상 일은

\delta W = \sum_\sigma Q_\sigma \delta q_\sigma \;

이 되어 식이 원래 형태에서 변하지 않음을 알 수 있다.

여기서, qσ에 거리를 넣으면 Qσ차원은 힘의 차원이 되고, qσ에 각을 넣으면 Qσ차원돌림힘의 차원이 됨을 알 수 있다.

같이 보기[편집]