일관된 층

일관된 층(coherent sheaf)은 밑 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된 좋은 성질을 가진 층이다. 대수기하학과 복소해석기하학의 많은 결과와 성질들은 일관된 층과 그 코호몰로지에 대한 것으로 서술된다.

정의

일관된 층이란 환 달린 공간 $(X,\mathcal{O}_X)$ 상의 $\mathcal{O}_X$-가군의 층 $\mathcal{F}$로서 다음의 두 조건을 만족하는 것이다.

1. $\mathcal{F}$은 $\mathcal{O}_X$ 상에서 '유한형'(finite type)이다. 즉, 임의의 점 $x\in X$에 대해 열린 근방 $U\subset X$가 존재해 $\mathcal{F}$를 $U$에 제한한 $\mathcal{F}|_U$가 유한 개의 단면들로 생성된다. (다른 말로 하면, 전사사상 $\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{F}|_U$)가 존재한다.)
2. 임의의 열린 집합 $U\subset X$와 임의의 자연수 n 및 임의의 $\mathcal{O}_X$-가군 사상 $\phi\colon \mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{F}|_U$에 대해, $\phi$의 핵은 유한형이다.

일관된 층의 예

• 뇌터 스킴의 구조층.
• 벡터다발의 단면들의 층.