이토의 보조정리

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확률미적분학에서, 이토의 보조정리([伊藤]의補助定理, 영어: Itō’s lemma)는 특정한 형태를 갖는 확률 과정의 도함수를 찾는 데 쓰이는 정리이다. 미적분학연쇄법칙에 상응하며, 테일러 급수 전개에서 이차항에 해당하는 부분을 확률과정의 특성에 맞게 수정한 것이다. 이 정리를 발전시키는 데 기여한 수학자 볼프강 되블린(독일어: Wolfgang Döblin)의 업적을 기려 이토-되블린 정리(영어: Itō–Döblin theorem)라 부르기도 한다.

정의[편집]

단순 위너 과정[편집]

위너 과정 W_{t}에 대한 실수함수 f(W_{t})가 2차미분이 가능할 경우 도함수 df(W_{t})를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt

이토 확률 과정[편집]

시간 t와 위너 과정 W_{t}로 이루어진 이토 확률 과정 X_{t}=\mu_{t}dt+\sigma_{t}dW_{t}에 대한 실수함수 f(t,X_{t})X_{t}에 대해 2차편미분이 가능할 경우 도함수 df(t,X_{t})를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

df(t,X_t) =\left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\sigma_t^2}{2}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)dt+ \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x}\,dX_t

따라서 f(t,X_t) 역시 이토 확률 과정이다.

역사[편집]

독일의 수학자 볼프강 되블린(독일어: Wolfgang Döblin)이 1940년에 이미 이와 유사한 이론을 유도하였으나, 출판하지 못했다. 유대인이었던 되블린은 나치 독일을 피해 프랑스로 피난하였다가, 프랑스가 점령되자 1940년 자살하였다. 이후 되블린의 업적은 2000년에 와서야 재발견되었다.

되블린과 독립적으로, 일본의 수학자 이토 기요시가 1944년 증명하였다.[1][2]

응용[편집]

금융공학에서 블랙-숄즈 방정식과 같은 주요한 이론을 이끌어내는 도구로 쓰인다.

참고 문헌[편집]

  1. Kiyoshi Itō (1944). Stochastic Integral. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20, 519-524.
  2. Kiyoshi Itō (1951). On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society 4, 1–51. Online

바깥 고리[편집]