이차 상호 법칙

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수론에서, 이차 상호 법칙(二次相互法則, 영어: law of quadratic reciprocity)은 두 홀수 소수가 서로에 대하여 제곱잉여인지 여부가 대칭적이라는 정리다.

정의[편집]

이차 상호 법칙에 따르면, pq가 서로 다른 홀수 소수일 때, 이차 합동식

\begin{cases}x^2 \equiv p \pmod q \\ y^2 \equiv q \pmod p \end{cases}

에 대하여 다음 두 경우가 성립한다.

  • 만약 p\equiv q\equiv3\pmod4라면 두 합동식 가운데 하나는 해가 존재하고, 다른 하나는 해가 존재하지 않는다.
  • 그밖의 경우 둘 다 해가 존재하든지 둘 다 해가 존재하지 않는다.

서로 다른 두 홀수 소수 pq에 대하여 르장드르 기호 \left(\frac{p}{q}\right)pq에 대한 제곱잉여일 때 1, 그렇지 않을 때 -1로 정의된다.

르장드르 기호를 이용하면, 이차 상호 법칙을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

\left(\frac pq\right) \left(\frac qp\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}

우변은 pq를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 -1이 된다.

위의 등식은 야코비 기호로 확장할 수 있다. 1이 아닌 두 홀수 mn서로소일 때,

\left(\frac{m}{n}\right) \left(\frac{n}{m}\right) = (-1)^{(m-1)(n-1)/4}

이 성립한다.

또한, p>2소수라면 다음 두 법칙이 성립한다.

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{(p-1)/2}
\left(\frac2p\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}

이를 각각 이차 상호 법칙의 제1 보충(二次相互法則의第一補充, 영어: first supplement to quadratic reciprocity)과 이차 상호 법칙의 제2 보충(二次相互法則의第二補充,영어: second supplement to quadratic reciprocity)이라고 한다.

가우스 정수의 이차 상호 법칙[편집]

가우스 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다. p\in\mathbb Z[i]가 2가 아닌 가우스 소수이며, k\in\mathbb Z[i]p의 배수가 아닌 가우스 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

\left[\frac kp\right]_2=\begin{cases}+1&p\nmid k\land \exists n\in\mathbb Z[i]\colon n^2\equiv k\pmod p\\
-1 &p\nmid k\land \nexists n\in\mathbb Z[i]\colon n^2\equiv k\pmod p \\
0&p\mid k
\end{cases}

그렇다면 다음이 성립한다.

\left[\frac kp\right]_2\equiv k^{(N_{\mathbb Q[i]/\mathbb Q}(p) - 1)/2}\pmod p

여기서

N_{\mathbb Q[i]/\mathbb Q}\colon a+bi\mapsto a^2+b^2

는 가우스 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 가우스 소수 p,q\in\mathbb Z[i]에 대하여,

\operatorname{Re} p\equiv\operatorname{Re}q\equiv1\pmod2
\operatorname{Im} p\equiv\operatorname{Im} q\equiv0\pmod2

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\left[\frac pq\right]_2 = \left[\frac qp\right]_2

또한, i1+i에 대하여 다음이 성립한다.

\left[\frac{i}{p}\right]_2 =(-1)^{\operatorname{Im} p/2}
\left[\frac{1+i}p\right]_2 =\Bigg(\frac{2}{\operatorname{Re}p+\operatorname{Im}p}\Bigg)

아이젠슈타인 정수의 이차 상호 법칙[편집]

아이젠슈타인 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다. p\in\mathbb Z[\omega]가 아이젠슈타인 소수이며, N(p)\ne3이라고 하자. 또한, k\in\mathbb Z[\omega]p의 배수가 아닌 아이젠슈타인 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

\left[\frac kp\right]_2=\begin{cases}+1&\exists n\in\mathbb Z[\omega]\colon n^2\equiv k\pmod p\\
-1 &\nexists n\in\mathbb Z[\omega]\colon n^2\equiv k\pmod p 
\end{cases}

그렇다면 다음이 성립한다.

\left[\frac kp\right]_2\equiv k^{(N(p) - 1)/2}\pmod p

여기서

N\colon a+b\omega\mapsto a^2-ab+b^2=(a+b\omega)(a+b\bar\omega)

는 아이젠슈타인 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 아이젠슈타인 소수 p,q\in\mathbb Z[\omega]

p=a+b\omega\qquad(3\nmid a,\;3\mid b)
q=c+d\omega\qquad(3\nmid c,\;3\mid d)

의 꼴이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\left[\frac pq\right]_2 \left[\frac qp\right]_2=(-1)^{(N(p)-1)(N(q)-1)/4)}

또한, 다음이 성립한다.

\left[\frac{1-\omega}{p}\right]_2 =\left(\frac a3\right)
\left[\frac2p\right]_2 =\left(\frac{2}{N(p)}\right)

역사[편집]

이차 상호 법칙을 다루고 있는 《산술 연구》의 쪽

레온하르트 오일러아드리앵마리 르장드르는 이차 상호 법칙을 추측하였으나 증명하지 못했다. 카를 프리드리히 가우스가 《산술 연구》(라틴어: Disquisitiones arithmeticae 디스퀴시티오네스 아리트메티카이[*])에서 최초로 이차 상호 법칙을 증명하였다. 가우스는 이차 상호 법칙을 "기본 정리"(라틴어: Theorema fundamentale 테오레마 푼다멘탈레[*])라고 불렀고, 이에 대하여 다음과 같이 적었다.

이 종류의 정리들 가운데 가장 우아한 정리인 기본 정리는 나 이전의 그 누구도 이렇게 간단한 형태로 서술하지 못하였다.
Theorema fundamentale, quod sane inter elegantissima in hoc genere est referendum, in eadem forma simplici, in qua supra propositum est, a nemine hucusque fuit prolatum.
 
151. De aliorum laboribus circa has investigationes〉, 《Disquisitiones arithmeticae》

가우스는 평생에 걸쳐 이차 상호 법칙의 8가지 다른 증명을 제시하였다.[1]

가우스 이후, 현재까지 발표된 이차 상호 법칙의 증명들은 200여 개에 이르며, 최근까지도 꾸준히 새로운 증명들이 발표되고 있다.[1]

[편집]

두 홀수 소수들 사이의 제곱 잉여 여부를 표로 나타내면 다음과 같다. 이차 상호 법칙에 따라, 표가 대각선을 중심으로 대칭이거나 반대칭임을 알 수 있다.

범례
R q제곱잉여 (mod p)    q ≡ 1 (mod 4) 또는 p ≡ 1 (mod 4)  
N q는 제곱잉여가 아님 (mod p)  
R q제곱잉여 (mod p) qp ≡ 3 (mod 4)
N q는 제곱잉여가 아님 (mod p)  
q
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
p 3   N R N R N R N N R R N R N N N R R N R R N N R
5 N   N R N N R N R R N R N N N R R N R N R N R N
7 N N   R N N N R R N R N R N R N N R R N R N N N
11 R R N   N N N R N R R N N R R R N R R N N N R R
13 R N N N   R N R R N N N R N R N R N N N R N N N
17 N N N N R   R N N N N N R R R R N R N N N R R N
19 N R R R N R   R N N N N R R N N R N N R N R N N
23 R N N N R N N   R R N R N R N R N N R R N N N N
29 N R R N R N N R   N N N N N R R N R R N N R N N
31 N R R N N N R N N   N R N R N R N R R N N N N R
37 R N R R N N N N N N   R N R R N N R R R N R N N
41 N R N N N N N R N R R   R N N R R N N R N R N N
43 N N N R R R N R N R N R   R R R N R N N R R N R
47 R N R N N R N N N N R N N   R R R N R N R R R R
53 N N R R R R N N R N R N R R   R N N N N N N R R
59 R R R N N R R N R N N R N N R   N N R N R N N N
61 R R N N R N R N N N N R N R N N   N N R N R N R
67 N N N N N R R R R N R N N R N R N   R R N R R N
71 R R N N N N R N R N R N R N N N N N   R R R R N
73 R N N N N N R R N N R R N N N N R R R   R N R R
79 N R N R R N R R N R N N N N N N N R N R   R R R
83 R N R R N R N R R R R R N N N R R N N N N   N N
89 N R N R N R N N N N N N N R R N N R R R R N   R
97 R N N R N N N N N R N N R R R N R N N R R N R  

제곱 잉여 문제의 일부 예는 다음과 같다.

(p, q) p\stackrel{?}{\equiv} 3\stackrel{?}{\equiv} q\pmod 4 x^2\equiv p\pmod q x^2\equiv q\pmod p
(3,7) p \equiv3\equiv q \pmod4 해 없음 y\equiv\pm1\pmod3
(3,5) p \equiv 3\not\equiv q \pmod4 해 없음 해 없음
(5,11) p \not\equiv 3\equiv q \pmod4 x\equiv\pm4\pmod{11} y\equiv\pm1\pmod5
(5, 13) p \not\equiv 3\not\equiv q \pmod4 해 없음 해 없음
(13, 17) p \not\equiv 3\not\equiv q \pmod4 x\equiv\pm8\pmod{17} y\equiv\pm2\pmod{13}

제곱잉여의 판별[편집]

일반적으로 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 판별하는 문제는 쉽지 않다. 이때 이차상호법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

예를 들어, 다음 합동식

x^2 \equiv 57 \pmod{127}

이 해를 가지는지를 판별하여 보자. 이것은 르장드르 기호 \left( \frac{57}{127} \right)의 값을 구하면 된다.

르장드르 기호의 성질에 의해,

\left( \frac{57}{127} \right) = \left( \frac{3}{127} \right) \left( \frac{19}{127} \right)

이다. 한편 3, 19, 127은 모두 4로 나눈 나머지가 3인 소수이므로 이차상호법칙에 의해

\left(\frac{3}{127}\right) =(-1)^{\frac{(3-1)(127-1)}{4}}\left(\frac{127}{3}\right) =(-1)\left(\frac{1}{3}\right) = -1

이고

\left(\frac{19}{127}\right) =(-1)^{\frac{(19-1)(127-1)}{4}}\left(\frac{127}{19}\right) =(-1)\left(\frac{13}{19}\right)
=(-1)(-1)^{\frac{(13-1)(19-1)}{4}}\left(\frac{19}{13}\right) =(-1)\left(\frac{6}{13}\right)=(-1)\left(\frac{2}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right)
=(-1)(-1)(-1)^{\frac{(3-1)(13-1)}{4}}\left(\frac{13}{3}\right) =\left(\frac{1}{3}\right) =1

이다. 따라서

\left(\frac{57}{127}\right)=-1

이므로, 57은 127에 대한 제곱잉여가 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Lemmermeyer, Franz. Proofs of the Quadratic Reciprocity Law.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]