이중 메르센 수

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이중 메르센 수메르센 수의 하나로 다음 꼴의 수이다.

M_{M_p} = 2^{2^p-1}-1

가장 작은 이중 메르센 수[편집]

이중 메르센 수의 수열은 아래와 같다. 아래의 4개는 모두 소수이다. [1]

M_{M_2} = M_3 = 7
M_{M_3} = M_7 = 127
M_{M_5} = M_{31} = 2147483647
M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727 (OEIS의 수열 A077586).

이중 메르센 소수[편집]

이중 메르센 수가 소수 일때 이중 메르센 소수라고 한다. M_{M_p}가 소수가 되려면 Mp도 소수여야 한다.

메르센 수 Mp가 소수가 되는 것은 p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89일 때이다.

현재 M_{M_p}p = 2, 3, 5, 7일 때는 소수이고, p = 13, 17, 19, 31일 때는 합성수임이 알려졌지만 p = 61일때는 미해결로, 이 수는 M_{M_{61}}= 22305843009213693951 − 1이다. 근사적으로는 1.695×10^694127911065419641이며, 소수 판정법으로 테스트하기 너무 크다. 하지만 4×1033보다 작은 소인수는 없음이 알려져 있다.[2] 알려진 다른 이중 메르센 소수는 없다.[1]

카탈란 메르센 소수[편집]

앞으로 M(p)M_p대신 쓰겠다. 이중 메르센 수의 특별한 예로 아래 수열이 있다.

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... (OEIS의 수열 A007013)

모두 소수라고 카탈란은 추측했다.

주석[편집]

  1. 프라임 페이지의 Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists
  2. Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008. 약 4×1033인 204204000000×(10019+1)×(261−1) 까지 나눴다. above Retrieved on 2008-10-22.