이중 메르센 수

이중 메르센 수는 메르센 수의 하나로 다음 꼴의 수이다.

$M_{M_p} = 2^{2^p-1}-1$

가장 작은 이중 메르센 수

이중 메르센 수의 수열은 아래와 같다. 아래의 4개는 모두 소수이다.

$M_{M_2} = M_3 = 7$

$M_{M_3} = M_7 = 127$

$M_{M_5} = M_{31} = 2147483647$

$M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727$ (OEIS의 수열 A077586).

이중 메르센 소수

이중 메르센 수가 소수 일때 이중 메르센 소수라고 한다. $M_{M_p}$가 소수가 되려면 M_p도 소수여야 한다.

메르센 수 M_p가 소수가 되는 것은 p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89일 때이다.

현재 $M_{M_p}$ 는 p = 2, 3, 5, 7일 때는 소수이고, p = 13, 17, 19, 31일 때는 합성수임이 알려졌지만 p = 61일때는 미해결로, 이 수는 $M_{M_{61}}$= 2^{2305843009213693951} − 1이다. 근사적으로는 1.695×10^^{694127911065419641}이며, 소수 판정법으로 테스트하기 너무 크다. 하지만 4×10³³보다 작은 소인수는 없음이 알려져 있다. 알려진 다른 이중 메르센 소수는 없다.

카탈란 메르센 소수

앞으로 $M(p)$를 $M_p$대신 쓰겠다. 이중 메르센 수의 특별한 예로 아래 수열이 있다.

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... (OEIS의 수열 A007013)

모두 소수라고 카탈란은 추측했다.