유효숫자

유효숫자(Significant figures)는 수의 정확도에 영향을 주는 숫자이다. 보통 다음의 경우를 제외하고 모든 숫자는 유효숫자이다.

• 0.00012의 1 앞에 있는 0들처럼 자리수를 표시하기 위한 0
• 유효숫자가 아닌 자리의 숫자와 연산하여 영향받은 자리의 숫자
• 측정 기구의 한계로 정확하지 않은 자리의 숫자

유효숫자의 개념은 반올림과 함께 사용할 수도 있다. 반올림하여 유효숫자 n개를 만드는 연산은 n의 자리에서 반올림하는 것과 달리 더욱 다양한 자릿수의 수를 다룰 수 있다.

유효숫자 확인의 예

• 모든 자리의 숫자가 0이 아닌 경우 모두 유효숫자로 추정된다. 예를 들면 123.45는 다섯 개(1, 2, 3, 4, 5)의 유효숫자를 가진다.
• 0이 아닌 숫자로 둘러싸인 자리의 0은 유효숫자이다. 예를 들면 101.12는 다섯 개(1, 0, 1, 1, 2)의 유효숫자를 가진다.
• 단지 자리수만 표시하기 위한 0은 유효숫자가 아니다. 예를 들면 0.00012는 두 개(1, 2)의 유효숫자를 가진다.
• 소수점 아래의 끝자리에 있는 0들은 유효숫자이다. 예를 들면 12.2300은 여섯 개(1, 2, 2, 3, 0, 0)의 유효숫자를 가진다. 120.00은 다섯 개(1, 2, 0, 0, 0)의 유효숫자를 가진다.
• 소수점을 포함하지 않는 수 중에서 유효숫자의 뒤를 따르는 0은 유효숫자일 수도 있고 유효숫자가 아닐 수도 있다. 예를 들어 1300은 정확히 1300인 경우에 네 개(1, 3, 0, 0)의 유효숫자를 갖고, 1270을 십의 자리에서 반올림한 결과인 경우 두 개(1, 3)의 유효숫자를 가진다고 볼 수 있다. 이것을 구분하기 위해 다양한 방법이 있다. 유효숫자인 0의 위 또는 아래에 바(bar)를 표시하거나 정수의 일의 자리 뒤에 소수점을 붙여 유효숫자임을 표시하는 것이다. 또는 숫자 뒤에 유효숫자가 몇 개라고 직접 표시하는 방법도 있다. 정해진 표준은 없다.
• 0.000과 같이 모든 자리의 숫자가 0이면 유효숫자가 없는 것이다. 실제 측정값보다 불확실성의 정도가 크기 때문이다.
• 과학적 기수법(Scientific notation)에서는 자리수가 10의 지수로 표현되고 유효숫자만이 $10^n$를 곱하는 수로 표현된다. 예컨대 15000은 유효숫자가 네 개라고 할 때 1.500×10^⁴으로 표현된다.
• 광속, 아보가드로 수와 같은 과학적 상수와, 물건의 개수를 센 것의 유효숫자는 무한대이다. 즉 이러한 상수는 측정값끼리의 계산 결과에 영향을 주지 않는다.

유효숫자의 계산

• 덧셈과 뺄셈에서, 계산된 결과는 원래 있던 수의 소수점 아래 자리보다 더 낮은 유효숫자를 가질 수 없다. 예를 들어, 유효숫자 세 개인 수 3.14와 유효숫자 5개인 8.9714를 더하면 산술적으로는 12.1114가 나오지만, 3.14에 의해 $10^{-2}$자리까지만이 유효한 결과로 판단되어 결과는 12.11이 된다.
• 곱셈과 나눗셈에서, 계산된 결과는 두 측정치 중 유효숫자가 적은 쪽과 같은 유효숫자를 가진다. 예를 들어, 2.56 × 12.8690의 산술적 계산결과는 4.78464이지만, 2.56의 유효숫자가 3개이므로 유효한 결과는 4.78이다.
• 세 개 이상의 숫자를 연속적으로 계산할 때, 중간의 연산 결과는 그 중간 연산으로 계산이 끝날 때의 유효숫자 개수보다 한 개 더 많다.