유한생성 아벨 군

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추상대수학에서 아벨 군 G유한히 생성되었다(finitely generated)는 의미는 G에 유한개의 원소 x_1, .... , x_s가 있어서 G의 모든 원소가 다음과 같은 형태로 표현됨을 말한다.

x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + .... + n_s x_s

이 때, n_1, ... , n_s는 정수이다. 물론, 아벨 군의 원소와 자연수와의 곱셈은 가환군의 원소를 자연수값 만큼 반복적으로 더한다는 의미이다. 이러한 가환군을 유한생성 아벨 군(Finitely generated abelian group) 또는 유한생성 가환군이라고 부른다.

[편집]

  • 정수 집합 (Z, +)은 당연하게도 유한생성 아벨 군이 된다.
  • 당연히 모든 유한군은 유한생성 아벨 군이 된다. 그러므로 정수를 법(modulo) n으로 자른 집합 Zn도 마찬가지로 유한생성 아벨 군이 된다.
  • 유한생성 아벨 군의 유한한 직합(Direct sum)도 역시 유한생성 아벨 군이 된다.

분류[편집]

유한생성 아벨 군의 기본정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)는 유한생성 아벨 군을 분류하는데 핵심적이다. 다음 두 가지 방법으로 서술할 수 있다.

소 분해(Primary decomposition)[편집]

모든 유한생성 아벨 군은 유한개의 정수 집합과 유한개의 기본 순환군(primary cyclic groups) 들의 직합(Direct sum)으로 유일하게 표현가능하다. 즉, 모든 유한생성 아벨 군은 다음과 같이 표현가능하다.

\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t}

여기서 q_1, .... , q_t는 모두 어느 소수의 (모두 다를 필요는 없다) 거듭제곱이다.

불변 인수 분해 (Invariant factor decomposition)[편집]

마찬가지로 유한생성 아벨 군을 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}

여기서 k_ik_{i+1}을 나눈다. 그리고 G에 의해 각각의 k_1, .... , k_u들이 유일하게 결정된다.

소 분해와 불변 인수 분해의 동치성[편집]

ab가 서로 소인 것과 \mathbb{Z}_{ab} \cong \mathbb{Z}_{a} \oplus \mathbb{Z}_{b}은 동치라는 사실을 이용하면 불변 인수 분해를 자연스럽게 소 분해로 표현할 수 있다. 역으로 소 분해로 표현되어 있다면 적절한 인수의 분배를 통해 불변 인수 분해로 표현가능하다.[1]

유한생성이 아닌 가환군[편집]

모든 가환군이 유한히 생성될 필요는 없다. 유한한 원소로 생성되지 않는 가환군의 가장 간단한 예는 유리수 집합 \mathbb Q이다. 또한, \mathbb Z/2\mathbb Z가산 개(countably many)만큼 곱한 집합 (\mathbb Z/2\mathbb Z)^\infty도 다른 예가 될 수 있다.

주석[편집]

  1. Hungerford, Thomas W. (1989년). 《Algebra》, 5판, Springer, 78–81쪽. ISBN 978-0-387-90518-1

바깥 고리[편집]