유한생성 아벨 군

추상대수학에서 가환군(abelian group) $G$가 유한히 생성되었다(finitely generated)는 의미는 $G$에 유한개의 원소 $x_1, .... , x_s$가 있어서 $G$의 모든 원소가 다음과 같은 형태로 표현됨을 말한다.

$x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + .... + n_s x_s$

이 때, $n_1, ... , n_s$는 정수이다. 물론, 가환군의 원소와 자연수와의 곱셈은 가환군의 원소를 자연수값 만큼 반복적으로 더한다는 의미이다. 이러한 가환군을 유한생성 아벨 군(Finitely generated abelian group) 또는 유한생성 가환군이라고 부른다.

예

• 정수 집합 (Z, +)은 당연하게도 유한생성 아벨 군이 된다.
• 당연히 모든 유한군은 유한생성 아벨 군이 된다. 그러므로 정수를 법(modulo) $n$으로 자른 집합 Z_n도 마찬가지로 유한생성 아벨 군이 된다.
• 유한생성 아벨 군의 유한한 직합(Direct sum)도 역시 유한생성 아벨 군이 된다.

분류

유한생성 아벨 군의 기본정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)는 유한생성 아벨 군을 분류하는데 핵심적이다. 다음 두 가지 방법으로 서술할 수 있다.

소 분해(Primary decomposition)

모든 유한생성 아벨 군은 유한개의 정수 집합과 유한개의 기본 순환군(primary cyclic groups) 들의 직합(Direct sum)으로 유일하게 표현가능하다. 즉, 모든 유한생성 아벨 군은 다음과 같이 표현가능하다.

$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t}$

여기서 $q_1, .... , q_t$는 모두 어느 소수의 (모두 다를 필요는 없다) 거듭제곱이다.

불변 인수 분해 (Invariant factor decomposition)

마찬가지로 유한생성 아벨 군을 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}$

여기서 $k_i$는 $k_{i+1}$을 나눈다. 그리고 $G$에 의해 각각의 $k_1, .... , k_u$들이 유일하게 결정된다.

소 분해와 불변 인수 분해의 동치성

$a$와 $b$가 서로 소인 것과 $\mathbb{Z}_{ab} \cong \mathbb{Z}_{a} \oplus \mathbb{Z}_{b}$은 동치라는 사실을 이용하면 불변 인수 분해를 자연스럽게 소 분해로 표현할 수 있다. 역으로 소 분해로 표현되어 있다면 적절한 인수의 분배를 통해 불변 인수 분해로 표현가능하다.

유한생성이 아닌 가환군

모든 가환군이 유한히 생성될 필요는 없다. 유한한 원소로 생성되지 않는 가환군의 가장 간단한 예는 유리수 집합이다. 또한, Z₂를 가산 개(countably many)만큼 곱한 집합도 다른 예가 될 수 있다.

바깥고리

• proof of fundamental theorem of finitely generated abelian groups