유일인수분해정역

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가환대수학에서, 유일인수분해정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD) 또는 인자환(영어: factorial ring)은 0이 아닌 원소를 소원소(prime element)로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 인수분해가능성을 일반화한 것이다.

유일인수분해정역은 정역의 한 종류이며, 다른 종류의 정역과 다음과 같은 관계가 있다.

정의[편집]

정역 R에서, 가역원이 아닌 두 원소의 곱으로 나타낼 수 없는 원소를 기약원(영어: irreducible element)이라고 한다.

정역 R에서, 원소 p\in R가 다음 두 조건을 만족시키면 p소원(영어: prime element)이라고 한다.

  • p가역원이 아니다.
  • 임의의 두 원소 a,b\in R에 대하여 만약 p\mid ab라면 p\mid a 또는 p\mid b이다.

정역 R가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 유일인수분해정역이라고 한다.

  • 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 소원들의 곱으로 나타낼 수 있다.
  • 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 기약원들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 인수 분해는 유일하다. 즉, a\in R\setminus\{0\}를 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수 분해하였다고 하자.
a=\prod P=\prod Q
여기서 P=\{p_1,\dots,p_m\}=PQ=\{q_1,\dots,q_n\}는 모두 기약원들로 구성된 중복집합이다. 그렇다면 전단사 함수 \phi\colon P\to Q가 존재하며, 모든 p\in P에 대하여
\phi(p)=u(p)p
가역원 u(p)\in R이 존재한다.

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수학에서 등장하는 많은 들이 유일인수분해정역을 이룬다.

유일인수분해정역 R다항식환 R[x_1,x_2,\dots,x_n] 역시 유일인수분해정역이다. 특히, 체에 대한, 2변수 이상의 다항식환 K[x_1,x_2,\dots x_n]주 아이디얼 정역이 아닌 유일인수분해정역의 예이다. (이 경우 (x_1,x_2)는 주 아이디얼이 아니다.)

유일인수분해정역이 아닌 예로는 다음을 들 수 있다.

  • 대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-5}]은 유일인수분해정역이 아니다. 예를 들어, 6을 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수분해할 수 있다.
6=2\cdot3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})
  • 복소평면 \mathbb C 위의 정칙함수들의 환은 유일인수분해정역이 아니다. 이는 무한히 많은 영점들을 갖는 함수는 유한하게 인수분해할 수 없기 때문이다. 예를 들어, 복소 사인 함수 z\mapsto \sin z는 무한히 많은 영점을 가져, 유한하게 인수분해할 수 없다.

대수적 정수환의 유일 인수분해[편집]

일반적으로, 대수적 수체대수적 정수환이 유일인수분해정역일 필요충분조건은 그 아이디얼류군자명군이라는 것이다. 즉, 이는 유수(= 아이디얼류군의 크기)가 1인 경우이다. (대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로, 이 경우 유일인수분해정역일 조건과 주 아이디얼 정역일 조건이 동치이다.)

실수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt n)대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt n]이 유일인수분해정역을 이룰 경우는 다음과 같다.

n = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, … (OEIS의 수열 A3172)

허수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{-n})대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-n}]이 유일인수분해정역을 이루는 n헤그너 수라고 한다. 헤그너 수는 총 9개가 있으며, 다음과 같다.

n = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (OEIS의 수열 A3173)

n\in\mathbb Z^+이 양의 정수라고 하며,

n\not\equiv2\pmod4

라고 하자. 또한, \zeta_n\zeta_n^n=1을 만족시키는 수라고 하자. 원분체 \mathbb Q(\zeta_n)의 대수적 정수환 \mathbb Z[\zeta_n]이 유일인수분해정역인 n은 총 30개가 있으며, 이들은 다음과 같다.

n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A5848)

(만약 n\equiv2\pmod4인 경우 \mathbb Q(\zeta_n)=\mathbb Q(\zeta_{n/2})이므로 중복된다.)

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]