유일분해정역

수학에서 유일분해정역(unique factorization domain, UFD)은, 직관적으로 설명하자면, 곱셈 또는 덧셈에 대한 항등원이 아닌 임의의 원소가 소원(prime element)들의 유일한 곱 형태로 분해되는 가환환을 의미한다. 소원들의 유일한 곱 형태로 분해되는 성질은 정수론에서 Z의 성질을 추상화한 것이다. UFD는 종종 부르바키 학파의 표기법에 따라 인자환(factorial ring)이라고 불리기도 한다.

유일분해정역은 정역의 한 종류이며, 다른 종류의 정역과 다음과 같은 관계가 있다:

• 정역 ⊃ 유일분해정역 ⊃ 주 아이디얼 정역 ⊃ 유클리드 정역 ⊃ 체

정의

정역 R가 유일분해정역이라 함은 R의 단위원이 아닌 임의의 원소 x가 R의 기약원들의 곱

x = p₁ p₂ ... p_n

으로 표현되고, 또한 이러한 표현은 다음과 같은 관점에서 유일하다: 만약 q₁,...,q_m이 R의 소원이고

x = q₁ q₂ ... q_m

를 만족하면, m = n이 성립하고 또한 전사 함수 φ : {1,...,n} -> {1,...,n}가 존재하여 i = 1, ..., n에 대하여p_i는q_φ(i)에 대응된다.

여기서 유일성은 비교적 진술하기도 어렵고 증명하기도 어려운 부분이다. 그래서 종종 다음과 같은 동치 정의가 유용하게 사용된다: 정역 R이 유일분해정역일 필요충분조건은 R의 곱셈 또는 덧셈에 대한 항등원이 아닌 임의의 원소가 R의 소원들의 곱으로 표현되는 것이다.

유일분해정역의 예

우리가 수학에서 다루는 많은 환들이 UFD이다:

• 임의의 주 아이디얼 정역과 임의의 유클리드 정역은 UFD이다. 특히, 정수들의 모임, 가우스 정수들의 모임, 그리고 아이젠슈타인 정수들의 모임은 UFD이다.
• 임의의 체는 당연히 UFD이다. 왜냐하면 영아닌 임의의 원소들이 단위원이기 때문이다. 체의 예로서는 유리수 체, 실수 체, 복소수 체를 들 수 있다.
• 만약 R가 UFD이면, 계수가 R인 다항식들의 모임인 R[x]도 UFD이다. 특히 임의의 체 위에서의 다항식환은 UFD이다.

흔히 알려져 있지 않은 몇 가지 예를 더 들어 보자:

• 체 K 위에서의 형식적 멱급수 환 K[[X₁,...,X_n]].
• 원점에서 해석적이고 일정한 개수의 변수를 갖는 복소해석적 함수들의 모임은 UFD이다.
• 수학적 귀납법에 의하여 F가 체일 때 다항식환 Z[X₁, ..., X_n]과 K[X₁, ..., X_n]이 UFD임을 쉽게 증명할 수 있다. (둘 이상의 변수를 갖는 다항식환은 주아이디얼정역이 아닌 UFD의 예가 된다.)