유일인수분해정역

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추상대수학에서, 유일인수분해정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD)은 0이 아닌 원소를 소원소(prime element)로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 인수분해가능성을 일반화한 것이다. UFD는 종종 부르바키 학파의 표기법에 따라 인자환(factorial ring)이라고 불리기도 한다.

유일인수분해정역은 정역의 한 종류이며, 다른 종류의 정역과 다음과 같은 관계가 있다:

정의[편집]

정역 R유일인수분해정역이라 함은 R의 단위원이 아닌 임의의 원소 xR의 기약원들의 곱

x = p1 p2 ... pn

으로 표현되고, 또한 이러한 표현은 다음과 같은 관점에서 유일하다: 만약 q1,...,qmR의 소원이고

x = q1 q2 ... qm

를 만족하면, m = n이 성립하고 또한 전사 함수 φ : {1,...,n} -> {1,...,n}가 존재하여 i = 1, ..., n에 대하여piqφ(i)에 대응된다.

여기서 유일성은 비교적 진술하기도 어렵고 증명하기도 어려운 부분이다. 그래서 종종 다음과 같은 동치 정의가 유용하게 사용된다: 정역 R이 유일분해정역일 필요충분조건은 R의 곱셈 또는 덧셈에 대한 항등원이 아닌 임의의 원소가 R의 소원들의 곱으로 표현되는 것이다.

유일분해정역의 예[편집]

우리가 수학에서 다루는 많은 환들이 유일인수분해정역이다.

흔히 알려져 있지 않은 몇 가지 예를 더 들어 보자:

  • K 위에서의 형식적 멱급수K[[X1,...,Xn]].
  • 원점에서 해석적이고 일정한 개수의 변수를 갖는 복소해석적 함수들의 모임은 UFD이다.
  • 수학적 귀납법에 의하여 F일 때 다항식환 Z[X1, ..., Xn]과 K[X1, ..., Xn]이 UFD임을 쉽게 증명할 수 있다. (둘 이상의 변수를 갖는 다항식환은 주아이디얼정역이 아닌 UFD의 예가 된다.)