유리 다양체

대수기하학에서 유리 다양체(有理多樣體, 영어: rational variety)는 사영 공간과 쌍유리 동치인 대수다양체이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수다양체를 유리 다양체라고 한다.

• $X$는 $\mathbb {P} _{K}^{\dim X}$와 쌍유리 동치이다.
• $X$의 유리 함수체는 ${\mathcal {K}}(X)\cong K(x_{1},\dots ,x_{\dim X})$이다. 여기서 $K(x_{1},\dots ,x_{n})$은 대수적 유리 함수체이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수다양체를 단유리 다양체(單有理多樣體, 영어: unirational variety)라고 한다.

• 적어도 하나의 $n$에 대하여, 우세 유리 사상 $\mathbb {P} _{K}^{n}-\!\to X$이 존재한다.
• 체의 확대 $K(x_{1},\dots ,x_{n})/{\mathcal {K}}(X)$가 존재하는 $n$이 존재한다.

1차원 유리 다양체는 유리 곡선(有理曲線, rational curve)이라고 하며, 2차원 유리 다양체는 유리 곡면(有理曲面, rational surface)이라고 한다. 유리 곡면은 대수 곡면을 10종으로 분류한 엔리퀘스-고다이라 분류 가운데 가장 단순한 종류이며, 가장 초기에 연구되었다.

성질

모든 유리 다양체는 단유리 다양체이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 낮은 차원에서는 다음이 성립한다.

• 모든 단유리 곡선은 유리 곡선이다 (뤼로트 정리 영어: Lüroth’s theorem).
• 표수 0에서, 모든 단유리 곡면은 유리 곡면이다. 그러나 양의 표수에서는 유리 곡면이 아닌 단유리 곡면이 존재한다 (자리스키 곡면).
• 3차원 이상에서는 표수에 상관없이 대부분의 단유리 다양체는 유리 다양체가 아니다.

유리성은 체의 확대에 의하여 보존되지 않는다. 대수적 폐포를 취했을 때 유리 다양체가 되는 다양체를 세베리-브라우어 다양체(영어: Severi–Brauer variety)라고 한다.

유리 곡면

카스텔누오보 정리(영어: Castelnuovo’s theorem)에 따르면, (임의의 표수에서) 비정칙도 $q=h^{0,1}$와 2차 다중 ㅎ종수 $P_{2}$가 0인 대수 곡면은 유리 곡면이다.

모든 비특이 유리 곡면은 최소 유리 곡면을 부풀리기를 반복해서 얻을 수 있다. 최소 유리 곡면은 사영 평면과 히르체브루흐 곡면 Σ_n, 여기에서 n= 0 또는 n ≥ 2이다.

유리 곡면의 다중 종수는 모두 0이고, 기본군은 자명하다.

복소 유리 곡면의 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1+n		0
	0		0
		1

n이 0이면 사영 평면이고, 1이면 히르체브루흐 곡면이며, 다른 유리 곡면은 1보다 크다.

유리 곡면의 피카르 군은 홀(odd) 유니모듈러 격자 I_1,n이며, 예외적으로 히르체부르흐 곡면 Σ_2m은 짝(even) 유니모듈러 격자 II_1,1이다.

예

다음 대수다양체들은 유리 다양체를 이룬다.

• 3차원 사영 공간 속의 이차 곡면
• 3차원 사영 공간 속의 삼차 곡면(영어: cubic surface)
• 사영 공간
• 델 페초 곡면
• 베로네세 곡면

참고 문헌

• Kollár, János; Karen E. Smith, Alessio Corti (2004). 《Rational and Nearly Rational Varieties》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 92. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511734991. ISBN 978-052183207-6. 

외부 링크

• “Rational variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Rational surface”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Unirational variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lüroth problem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Rational variety”. 《nLab》 (영어). 
• “Unirational variety”. 《nLab》 (영어).