유계 작용소

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함수해석학에서, 유계 작용소(有界作用素, 영어: bounded operator)는 작용소 노름이 유한한 노름 공간 사이의 선형변환이다.

정의[편집]

VW노름 공간이라고 하자. 그렇다면, 이들 사이의 선형 변환 T\colon V\to W에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 선형 변환유계 작용소라고 한다.

\lVert T\rVert=\sup_{v\in V,\lVert v\rVert\ne0}\frac{\lVert Tv\rVert}{\lVert v\rVert}
이 유한하다.
  • TVW의 노름 위상에 대하여 연속함수이다.

VW 사이의 유계 작용소들의 공간은 B(V,W)라고 하며, 이는 작용소 노름을 통해 노름 공간을 이룬다. 만약 V바나흐 공간이라면, B(V,W) 역시 바나흐 공간이다.

[편집]

두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다.

수열 공간 \ell^2(\mathbb R) 위의 연산자

L\colon(x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,x_2,\dots)

는 노름이 1인 유계 작용소이다.

라플라스 연산자

\Delta\colon H^2(\mathbb R^n)\to L^2(\mathbb R^n)

는 유계 작용소이다. 여기서 H^2소볼레프 공간의 하나이며, L^2Lp 공간의 하나이다.

바깥 고리[편집]