유계변동

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유계변동(bounded variation, 有界變動)이란 해석학의 개념으로, 어떤 함수가 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한되어 있음을 나타내는 성질이다.

전변동[편집]

우선 함수가 변화한다는 것의 개념을 수학적으로 명확히 정의할 필요가 있다. 어떤 닫힌 구간에서 정의된 함수 f:[a, b]→Rm에 대하여 구간의 특정한 분할 P = {x0(=a), x1, x2, ..., xn-1, xn(=b)}(모든 i에 대하여 xi < xi+1)이 주어졌을 때,

V_P := \sum^n_{i=1} |f(x_i) - f(x_{i-1})|

와 같이 정의된 합을 임의의 분할 P에 대해 모두 모은 집합을 V(f)라 하자. 이제 이를 이용하여 f의 전변동(total variation) Vf(a, b)을 다음과 같이 정의한다.[1]

V_f (a, b) := sup(V(f))

정의[편집]

이상의 전변동 개념을 이용하여, [a, b]에서 정의된 f가 유계변동일 필요충분조건을 다음과 같이 정의한다.[1]

V_f (a, b) < \infty.

유계변동인 함수 f를 유계변동함수(function of bounded variation, BV function)라 부른다. 유계변동함수족을 BV라 하면, 이를 f∈BV와 같이 쓸 수 있다.

성질[편집]

유계변동함수는 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.[2]

  • 유계변동함수는 유계이다. 그러나 일반적으로 역은 성립하지 않는다.
  • f가 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수연속이면, f는 유계변동이다.
  • f가 [a, b]에서 연속이라고 해서 유계변동인 것은 아니다.
  • f와 g가 유계변동이면, f+g도 유계변동이다.
  • a<c<b이면, V_f (a, b) = V_f (a, c) + V_f (c, b).
  • f:[a, b]→Rm과 g:[a, b]→R 모두 유계변동이라 하자. 그러면 gf도 유계변동이다.
    • 또, 적당한 양수 a에 대하여 모든 x에 대해 |g(x)|≥a라면, f/g도 유계변동이다.
  • f:[a, b]→R이 유계변동일 필요충분조건은 어떤 두 증가함수가 존재하여 f가 이 두 함수의 차로 표현되는 것이다.
  • f:[a, b]→Rm가 유계변동이라면, [a, b]의 거의 모든 곳에서 |f'(x)| = V_f'(a,x) 가 성립한다.
    • 따라서, 이 조건에서 즉시 부등식 \int^b_a |f'(x)|dx \le V_f (a,b) 을 얻는다.
  • 거꾸로, f를 f∈L1(a, b)인 m차원벡터 함수라 하자. 그러면 F(x) := \int^x_a f(y)dy 에 대하여 F는 유계변동이다.
    • 또, 이때 \int^b_a |f(y)|dy = V_F (a,b) 가 성립한다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001, p.530.
  2. Ibid., pp.531-539.
  3. 르베그 미분가능성 정리 참조.

참고 문헌[편집]

  • Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001.