유계변동함수

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실해석학에서, 유계변동함수(有界變動函數, 영어: function of bounded variation)는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다.

정의[편집]

V가 실수 노름공간이라고 하고, 닫힌 구간에서 정의된 함수 f\colon[a,b]\to V가 있다고 하자.

구간 [a,b]의 분할을 다음과 같은 꼴로 적자.

P=\{p_0,p_1,p_2,\dots,p_{|P|}\}\qquad (a=p_0<p_1<p_2<\cdots<p_{|P|}=b)

f전변동(全變動, 영어: total variation) V(f)은 다음과 같다.[1]

V_{[a,b]}(f)=\sup_P\sum^{|P|}_{i=1}\|f(p_i) - f(p_{i-1})\|

여기서 \sup_P[a,b]의 모든 가능한 분할들에 대한 상한이다. 유계변동함수는 전변동이 유한한 함수이다.[1]

성질[편집]

유계변동함수는 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.[2]

  • 유계변동함수는 유계함수이다. 그러나 일반적으로 역은 성립하지 않는다.
  • f가 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수연속이면, f는 유계변동이다.
  • f가 [a, b]에서 연속이라고 해서 유계변동인 것은 아니다.
  • f와 g가 유계변동이면, f+g도 유계변동이다.
  • a<c<b이면, V(f|_{[a,b]})=V(f|_{[a,c]})+V(f_{[c,b]})
  • f:[a, b]→Rm과 g:[a, b]→R가 유계변동함수라면, 두 함수의 곱 fg은 유계변동함수이다.
    • 또, 적당한 양수 a에 대하여 모든 x에 대해 |g(x)|≥a라면, f/g도 유계변동이다.
  • f:[a, b]→R이 유계변동일 필요충분조건은 어떤 두 증가함수가 존재하여 f가 이 두 함수의 차로 표현되는 것이다.
  • f:[a, b]→Rm가 유계변동함수라면, [a, b]의 거의 모든 곳에서 |f'(x)| = V_f'(a,x) 가 성립한다.
    • 따라서, 이 조건에서 즉시 부등식 \int^b_a |f'(x)|dx \le V_f (a,b) 을 얻는다.
  • 거꾸로, f를 f∈L1(a, b)인 m차원벡터 함수라 하자. 그러면 F(x) := \int^x_a f(y)dy 에 대하여 F는 유계변동이다.
    • 또, 이때 \int^b_a |f(y)|dy = V_F (a,b) 가 성립한다.

[편집]

\sin(1/x)는 유계변동함수가 아니다.

다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계함수이고 (0,1]에서 연속함수지만 [0,1]에서 유계변동함수가 아니다.

f(x) = \begin{cases} 0&x =0 \\ \sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases}
x\sin(1/x)는 유계변동함수가 아니다.

다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계함수이고 [0,1]에서 연속함수지만 [0,1]에서 유계변동함수가 아니다.

f(x) = \begin{cases} 0&x =0 \\ x\sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases}
x^2\sin(1/x)는 유계변동함수이다.

다음과 같은 함수는 [0,1]에서 유계함수이고, 연속함수이며, 유계변동함수이다.

f(x) = \begin{cases} 0&x =0 \\ x^2\sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases}

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001, p.530.
  2. Ibid., pp.531-539.
  3. 르베그 미분가능성 정리 참조.

참고 문헌[편집]

  • Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001.

바깥 고리[편집]