외적 (행렬)

외적(outer product)란 선형대수학에서 벡터의 텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

정의

행렬에서의 정의

두 벡터의 외적 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$은 $\mathbf{u} \mathbf{v}^T$와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, $\mathbf{u}$은 실수공간 $\mathbf{R}^m$에서 정의되는 $m\times 1$ 열벡터, $\mathbf{v}$는 $\mathbf{R}^n$에서 정의되는 $n \times 1$ 열벡터를 말한다. 예를 들어, $m = 4$, $n = 3$인 경우

$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\ u_4v_1 & u_4v_2 & u_4v_3\end{bmatrix}$

와 같이 외적을 쓸 수 있다.

좀 더 복잡한 복소수공간 $\mathbf{C}^m$과 $\mathbf{C}^n$ 에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산 $\mathbf{v}^T$ 대신에 복소켤레전치 $\mathbf{v}^\dagger$를 사용해

$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger$

로 정의된다.

내적과의 비교

만약 $m = n$이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

$\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \mathbf{v}^\dagger \mathbf{u}$

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라($1 \times 1$ 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 벡터공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

추상적 정의

주어진 벡터 $v \in V$와 코벡터 $w^* \in W^*$의 텐서곱 $v \otimes w^*$은 동형사상 $\mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V$하의 사상 $\ A\colon W \to V\,$을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 $w \in W$에 대해

$A(w)\,=\,w^*(w)v$

로 정의된다. 여기서 $w^*(w)$는 $w$로 계산된 $w^*$로 $v$와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은 $\ w^*\colon W \to K\,$ 와 $\ v\colon K \to V\,$ 의 합성이다.

내적과의 비교

만약 $\ W =V\,$이면, 코벡터 $w^* \in V^*$와 벡터 $v \in V$를 $V$와 $V$의 쌍대의 쌍대연산 $(w^*,v)\mapsto w^*(v)$ 를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

3차원 공간에서 벡터곱과의 관계

여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 $\mathbf{R}^3$에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 $w^\mathbf{a} = (w^1, w^2 ,w^3)$와 $v^\mathbf{a} = (v^1, v^2 ,v^3)$의 외적은 다음과 같다.

$w^\mathbf{a} \otimes v^\mathbf{b} = w^\mathbf{a} v^\mathbf{b}$

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

$(w^\mathbf{c} \times v^\mathbf{d})^\mathbf{a} = [* \left( w^\mathbf{c} v^\mathbf{d} \right) ]^{\mathbf{a}} = g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d}$

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, $g^{\mathbf{ab}} = \delta^{\mathbf{ab}}$이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

$\begin{align} g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} & = \delta^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \\ & = \delta^{\mathbf{ab}} \left( \epsilon_{123} e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} \right) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \end{align}$

여기서 $e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d}$를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

$e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} = e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{d} + e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{b} + e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{b} - e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{d}$

이다. 그리고 여기에 $v^\mathbf{c} w^\mathbf{d}$를 곱하면

$( e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} ) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = e^1_\mathbf{b} (v^2 w^3 - v^3 w^2 ) + e^2_\mathbf{b} (v^3 w^1 - v^1 w^3 ) + e^3_\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 )$

되고 마지막으로 $\delta^{\mathbf{ab}} \epsilon_{123}$을 곱하면

$g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = e_1^\mathbf{b} (v^2 w^3 - v^3 w^2 ) + e_2^\mathbf{b} (v^3 w^1 - v^1 w^3 ) + e_3^\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 )$

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.