완화 시간

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물리계가 비평형 상태에서 평형 상태로 변화하는 것을 완화(relaxation)이라고 부른다. 이 때, 완화에 걸리는 시간을 완화 시간(緩和時間, relaxation time)이라고 부른다.

Boltzmann transport equation[편집]

전자의 wave vector가 \vec k일 때, 외부에서 field \vec F를 걸어주면 전자는 다음과 같은 식을 만족하며 변한다.

\hbar \frac {d\vec k} {dt}= \vec F

t초일 때 위치가 \vec r, wave vector가 \vec k인 전자의 확률밀도함수를 f(\vec k,\vec r,t)로 나타내고 이를 전자의 distribution function 이라고 부른다.

우선 전자의 상태가 산란되지 않고 외부에서 가해준 힘에 의해서만 변한다고 가정하면 전자는 dt 이후에 위치는 r +\dot r dt , wave vector는 k +\dot k dt 인 상태가 되므로 역으로 r -\dot r dt , k -\dot k dt 인 상태가 dt초 후에 f(\vec k,\vec r,t)인 상태로 변한다고 볼 수 있다.

따라서 distribution function의 변화율은 다음과 같다.

(\frac {df} {dt})_{drift}=[f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)-f(k,r,t)]/dt

이는 연속적인 전자의 흐름과 관계되므로 drift term이라고 부른다.


f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)을 다음과 같이 테일러 전개하여

f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)=f(k,r,t)-[\dot k \cdot \frac{\partial f}{\partial k}+\dot r \cdot \frac{\partial f}{\partial r}+ \frac{\partial f}{\partial t}]dt\cdot \cdot \cdot

이를 대입하면 drift term은 다음과 같다.

(\frac {df} {dt})_{drift}=-[ \dot k \cdot \nabla_k f +v\cdot \nabla_r f   + \frac{\partial f}{\partial t} ]=-[ \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f   + \frac{\partial f}{\partial t} ]

한편, 전자는 collision(scattering)에 의한 distribution function의 변화율까지 고려해서 평형상태를 유지해야 하므로 drift에 의한 distribution function 변화율과 collision에 의한 distribution function변화율의 합은 0이어야 한다.

(\frac {df} {dt})_{drift}+ (\frac {df} {dt})_{coll}=0

따라서 collision(scattering)에 의한 distribution function변화율 식은 다음과 같다.

(\frac {df} {dt})_{coll}= \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f   + \frac{\partial f}{\partial t}

이를 Boltzmann transport equation이라 한다.

Relaxation time[편집]

크리스탈이 uniform 하고 distribution function이 위치에 따라 무관하다고 가정하자.

이때 distribution function f(k)는 k' 상태에서 k 상태로의 전이로 인해 증가하고, k 상태에서 k'상태로의 전이로 인해 감소한다.

이에 해당하는 단위 시간당 전이 확률을 각각 P(k',k), P(k,k')라 한다면 collision term 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

(\frac {df} {dt})_{coll}= \sum_{k'}{ P(k',k)f(k')[1-f(k)]-P(k,k')f(k)[1-f(k')] }

여기서 f(k')[1-f(k)] term 은 전자가 k'상태에 존재하고 k 상태에 존재하지 않을 확률을 나타낸다.

Fermi level 이 conduction band의 bottom 에 놓여 있는 간단한 상황을 생각해보면 f(k)와 f(k')이 매우 작다고 할 수 있다.

이때 열적 평형에서의 distribution function을 f_0(k) 로 정의하면 collision에 의한 distribution function 변화율은 0이어야 하므로 다음의 관계식을 얻는다.

P(k',k)f_0(k')=P(k,k')f_0(k)

이를 이용하면 collision에 의한 distribution function 변화율은 다음과 같다.

(\frac {df} {dt})_{coll}=- \sum_{k'}{ P(k,k')[f(k)-f(k')\frac{f_0(k)}{f_0(k')}] }
=-\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [f(k)-f(k')\frac{f_0(k)}{f_0(k')}]

여기서 V는 크리스탈의 부피이다.

외부 field 가 매우 작고 distribution function이 열적평형에 가까우며 scattering에 의한 에너지 변화가 매우 작은 탄성 충돌이라고 가정하면 다음의 식이 성립한다.

 f(k)=f_0(k)+f_1(k)
f_1(k)<<f_0(k)
f_0(k)\cong f_0(k')

이를 통해 다음과 같은 식이 만족하므로

(\frac {df} {dt})_{coll}=-f_1(k)\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{f_1(k')}{f_1(k)}]\equiv-\frac{f_1(k)}{\tau(k)} \equiv-\frac{f(k)-f_0(k)}{\tau(k)}

collision의 relaxation time을 다음과 같이 정의할 수 있다.

\frac{1}{\tau(k)}=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{f_1(k')}{f_1(k)}]

한편, relaxation time approximation 을 이용하여 Boltzmann transport equation 은 다음과 같이 relaxation time 으로 표현할 수 있고

\frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f   + \frac{\partial f}{\partial t} =-\frac{f-f_0}{\tau}

공간적으로 uniform 하고 steady state 일 때 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

\frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) =-\frac{f_1}{\tau}

만약 외부에서 걸어주는 field 가 x 방향이라면

f_1=-\frac{\tau}{\hbar}F_x \frac{\partial f}{\partial k_x}=-\frac{\tau}{\hbar}F_x \frac{\partial f}{\partial E}\frac{\partial E}{\partial k_x}=-\tau v_x F_x \frac{\partial f}{\partial E}

위 식이 만족하고, 여기서 v_x=\frac {\hbar k_x}{m*} 이고 m*는 전자의 effective mass 이다.

f=f_0+f_1f_0>>f_1을 이용하면
f_1=-\tau v_x F_x \frac{\partial f_0}{\partial E}

로 근사할 수 있고 이 식을 relaxation time 식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻게 된다.

\frac{1}{\tau(k)}=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{k'_x}{k_x}]=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-cos\theta]

여기서 \theta는 k와 k'사이 각을 의미한다.

참고문헌[편집]

  • C. Hamaguchi, Basic Semiconductor Physics,Springer,pages 196-252