티호노프 공간

위상공간의 분리공리

T0 | T1 | T2 | T2½ | 완비 T2 T3 | T3½ | T4 | T5 | T6

티호노프 공간(Tychonoff space) 또는 $T_{3\frac{1}{2}}$ 공간은 분리공리의 일부로 다뤄지는 특정한 성질을 만족하는 위상공간을 뜻한다. 소비에트 연방의 위상수학자 안드레이 니콜라예비치 티호노프의 이름이 붙어 있다. 다음과 같이 정의한다.

• 티호노프 공간은 T₁인 완비 정칙공간이다.

여기서 완비 정칙공간(completely regular space)은 다음과 같이 정의한다.

• 위상공간 X가 완비 정칙공간일 필요충분조건은 X의 임의의 닫힌 집합 F와 F에 속하지 않는 한 점 p에 대하여 연속함수 f:X → [0, 1]이 존재하여 f(p) = 0이고 f(F) = {1}을 만족하는 것이다.

성질

• 티호노프 공간은 T₃이며 완비 하우스도르프 공간이다. 또, T₄ 공간은 티호노프 공간이다.
• 티호노프 공간의 부분공간은 티호노프 공간이다. 티호노프 공간의 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.
• 위상공간 X가 티호노프일 필요충분조건은 적당한 X의 초공간 Y가 존재하여 Y가 컴팩트 하우스도르프 공간일 것이다.
• 위상공간 X가 티호노프일 또 다른 필요충분조건으로, I:= [0, 1]에 대해 f:X→I인 모든 연속함수의 집합 F에 대하여 X가 I^F의 어떤 부분공간과 위상동형이라는 것이 있다.
  • (스톤-체흐 컴팩트화) 어떤 위상공간이 하우스도르프 공간인 컴팩트화를 갖기 위한 필요충분조건은 이 공간이 티호노프 공간인 것이다. 이 정리는 위의 두 정리의 따름정리이다.

같이 보기

• 우리손 공간
• 정칙공간
• 정규공간

참고 문헌

• 유정옥, 《알기쉬운 위상수학》, 교우사, 2006