베이불 분포

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베이불 분포
확률밀도함수
Weibull PDF.svg
누적분포함수
Weibull CDF.svg
매개변수 \lambda>0, k>0
지지집합 x \in [0; +\infty)\,
확률 밀도 \begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}
누적 분포 \begin{cases}1- e^{-(x/\lambda)^k} & x\geq0\\ 0 & x<0\end{cases}
기댓값 \lambda \, \Gamma(1+1/k)\,
중앙값 \lambda(\ln(2))^{1/k}\,
최빈값 \begin{cases}
\lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\, &k>1\\
0 &k=1\end{cases}
분산 \lambda^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \left(\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^2\right]\,
비대칭도 \frac{\Gamma(1+3/k)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}
엔트로피 \gamma(1-1/k)+\ln(\lambda/k)+1 \,
모멘트생성함수 \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma(1+n/k), \ k\geq1
특성함수 \sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma(1+n/k)

통계학에서, 베이불 분포(영어: Weibull distribution)은 연속 확률 분포의 하나이다. 발로디 베이불(스웨덴어: Waloddi Weibull)의 이름에서 따왔다. 입자의 분포를 다루는 경우 로신-램러 분포(Rosin-Rammler distribution)라고 부르기도 한다.

베이불 분포는 유연하기 때문에 수명 데이터 분석에 자주 쓰이는데 정상분포나 지수분포같은 다른 통계적인 분포를 흉내낼수도 있다. 주로 산업현장에서 부품의 수명을 추정하는 데 사용되며, 고장날 확률이 시간이 지나면서 높아지는 경우와 줄어드는 경우와 일정한 경우 모두 추정 할 수 있다. 고장날 확률이 시간에 따라 일정한 경우는 지수분포와 같다.

f(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}\,

사용의 예[편집]

베이불 분포는 다음과 같은 경우의 분석에 쓰인다.

  • 부품의 수명 추정 분석
  • 산업 현장에서 어떤 제품의 제조와 배달에 걸리는 시간을 나타낸다.
  • 날씨예보
  • 신뢰성공학에서 실패분석