오퍼라드

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대수학대수적 위상수학에서, 오퍼라드(영어: operad)는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다.[1][2][3] 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

정의[편집]

자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,1_\otimes)에서, 대상 C\in\mathcal C의 원소는 사상 1_\otimes\to C로 정의하자.

대칭 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes,1_\otimes)에서의 오퍼라드 (P,\circ,1_P)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • (연산 집합) 모든 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, \mathcal C의 대상 P(n)\in\mathcal C. P(n)의 원소를 각각 n-항 연산(영어: n-ary operation)이라고 한다.
  • (항등 연산) P(1)의 원소 1_P\in P(1). 이를 항등 연산(영어: unit)이라고 한다.
  • (변수의 치환) 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 군 준동형사상 *\colon \operatorname{Sym}(n)\to\operatorname{Aut}_{\mathcal C}(P(n),P(n)). 여기서 \operatorname{Sym}(n)대칭군이다.
  • (연산의 합성) 자연수 n,n_1,n_2,\dots,n_n\in\mathbb N에 대해, 함수들
\begin{matrix}
P(n)\otimes P(n_1)\otimes\cdots\otimes P(n_n)&\to&P(n_1+\cdots+n_n)\\
(\theta,\theta_1,\ldots,\theta_n)&\mapsto&\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n)
\end{matrix}

이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.

\theta\circ(\theta_1\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,n_1}),\ldots,\theta_n\circ(\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,n_n}))
=(\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,n_1},\ldots,\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,n_n})
  • (항등원의 성질) 모든 \theta\in P(n)에 대하여,
\theta\circ(\overbrace{1,\ldots,1}^n)=\theta=1\circ\theta
  • (치환의 작용) 모든 \theta\in P(n)\theta_i\in P(n_i) (i=1,\dots,n) 및 순열 \sigma\in\operatorname{Sym}(n)에 대하여,
(\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n))*\sigma=\theta\circ(\theta_{\sigma(1)},\dots,\theta_{\sigma(n)})
  • (치환의 작용) 모든 \theta\in P(n)\theta_i\in P(n_i)순열 \sigma_1\in\operatorname{Sym}(n_i) (i=1,\dots,n)에 대하여,
(\theta\circ(\theta_1*\sigma_1,\dots,\theta_n*\sigma_n))=\left(\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n)\right)*\iota(\sigma_1,\dots,\sigma_n)
여기서 \iota\colon\prod_{i=1}^n\operatorname{Sym}(n_i)\hookrightarrow\operatorname{Sym}(\sum_{i=1}^nn_i)는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 대칭 모노이드 범주 \mathcal C 속의 두 오퍼라드 (P,\circ_P,1_P), (Q,\circ_Q,1_Q) 사이의 사상 f\colon P\to Q은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 사상 f(n)\colon P(n)\to Q(n).

이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

  • (연산 합성의 보존) 모든 (\theta,\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n)\in P(n)\times P(n_1)\times P(n_2)\times\cdots\times P(k_n)에 대하여,
f(\theta\circ_P(\theta_1,\ldots,\theta_n))=f(\theta)\circ_Q(f(\theta_1),\ldots,f(\theta_n))
  • (항등원의 보존) f(1_P)=1_Q
  • (대칭군의 작용의 보존)

이에 따라, \mathcal C에서의 오퍼라드들은 범주 \mathcal C\operatorname{-Operad}를 이룬다.

오퍼라드의 모나드[편집]

집합의 데카르트 닫힌 범주 \operatorname{Set} 속의 오퍼라드 (P,\circ_P,1_P)가 주어지면, 이로부터 \operatorname{Set} 위의 모나드 \hat P\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 S는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, \hat P(S)PS를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환 \hat P\hat P\implies\hat PP의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

오퍼라드의 대수[편집]

닫힌 대칭 모노이드 범주(영어: closed symmetric monoidal category) (\mathcal C,\otimes,\hom)의 대상 X\in\mathcal C가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자명한 오퍼라드 \operatorname{Op}(X)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • \operatorname{Op}(X)n항 연산은 내부 준동형사상 대상 \hom(X^{\otimes n},X)이다.
  • 연산의 합성은 \otimes의 결합성으로부터 유도된다.

이 경우, (\mathcal C,\otimes)에 대한 오퍼라드 P 위의 대수(영어: algebra over P) (X,\phi)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • X\in\mathcal C\mathcal C의 대상이다.
  • \phi는 오퍼라드 준동형사상 P\to\operatorname{Op}(X)이다.

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자기준동형 오퍼라드[편집]

(\mathcal C,\otimes,1)가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상 X\in\mathcal C가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드(영어: endomorphism operad) \operatorname{End}_{\mathcal C}(X)는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.[1]

  • 각 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, \operatorname{End}_{\mathcal C}(X)(n)=\hom_{\mathcal C}(X^n,X)
  • 1_{\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)}=\operatorname{id}_X
  • \theta,\theta_1,\dots,\theta_n에 대하여,
\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n)=\theta\circ\otimes_{i=1}^n\theta_i

초입방체 오퍼라드[편집]

양의 정수 k에 대하여, k차원 초입방체 오퍼라드(영어: n-cubes operad) C_k는 다음과 같다.[1]

  • C_k(n)n개의 k차원 초입방체 \square_1,\dots,\square_n를 하나의 k차원 초입방체 \square에 서로 겹치지 않고, \square_i의 면들이 \square의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
  • C_k의 항등원은 초입방체 \square 위의 항등 함수이다.
  • C_k에서, \theta\colon\square_1\sqcup\cdots\sqcup\square_n\hookrightarrow\square\theta_i\colon\square_{i,1}\sqcup\cdots\sqcup\square_{i,n_i}\hookrightarrow\square_i (i=1,\dots,n)의 합성은 매장을 합성하여, \theta_{i,j}\theta 속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

결합법칙 오퍼라드[편집]

벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주 \operatorname{Vect}_K 위에서 다음과 같은 오퍼라드 \operatorname{Assoc}_K를 정의하자.

  • \operatorname{Assoc}_Kn항 연산은 n!차원 K-벡터공간 \operatorname{Span}_K\operatorname{Sym}(n)이다. 여기서 \operatorname{Sym}(n)은 크기가 n!대칭군이다.
  • \operatorname{Sym}(n)의 작용은 군 \operatorname{Sym}(n)의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
  • \operatorname{Assoc}_K의 연산의 합성은 군 준동형사상
\operatorname{Sym}(n_1)\times\cdots\times\operatorname{Sym}(n_k)\to\operatorname{Sym}(n_1+\cdots+n_k)
의 선형 확장이다.

이 경우, \operatorname{Assoc}_K 위의 대수는 결합 K-대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

역사와 어원[편집]

존 피터 메이(영어: Jon Peter May)[4]와 마이클 보드먼(영어: J. Michael Boardman), 라이너 폭트(독일어: Rainer M. Vogt)[5]호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다.[2] 메이에 따르면, "오퍼라드"(영어: operad 오퍼래드[*])는 영어: operation 오퍼레이션[*](연산)과 영어: monad 모내드[*](모나드)의 합성어이다.

이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

응용[편집]

수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 대수 (commutative algebra), 리 대수, 거스텐하버 대수(Gerstenhaber algebra), 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Stasheff, Jim (2004년 6월). What is … an operad?. 《Notices of the American Mathematical Society》 51 (6): 630–631. Zbl 1151.18301.
  2. (영어) May, J. Peter (1997년). 〈Operads, algebras and modules〉, 《Operads: proceedings of renaissance conferences》, Contemporary Mathematics 202. American Mathematical Society, 15–31쪽. Zbl 0879.18001. ISBN 978-0-8218-0513-8
  3. (영어) Markl, Martin (2008년 3월). 〈Operads and PROPs〉, 《Handbook of algebra, volume 5》, 87–140쪽. arXiv:math/0601129. doi:10.1016/S1570-7954(07)05002-4. Bibcode2006math......1129M. Zbl 1211.18007. ISBN 978-0-444-53101-8
  4. (영어) May, J. P. (1972년). 《The geometry of iterated loop spaces》, Lecture Notes in Mathematics 271, ISSN 0075-8434. Springer. doi:10.1007/BFb0067491. Zbl 0244.55009. ISBN 978-3-540-05904-2
  5. (영어) Boardman, J. Michael, Rainer M. Vogt (1973년). 《Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces》, Lecture Notes in Mathematics 347, ISSN 0075-8434. Springer. doi:10.1007/BFb0068547. Zbl 0285.55012. ISBN 978-3-540-06479-4

바깥 고리[편집]

  • (영어) Operad. 《nLab》.
  • (영어) Vallette, Bruno (2012년). Algebra + homotopy = operad. arXiv:1202.3245.
  • (영어) Zinbiel, Guillaume W. (2010년). Encyclopedia of types of algebras 2010. arXiv:1101.0267.