오퍼라드 이론

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

오퍼라드 이론(영어: operad theory)은 수학의 대수학대수적 위상수학의 한 분야로, 대수적 대상의 (반)가환성[(anti-)commutativity]과 결합성(associaticity) 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화하여 통합된 방식으로 보기 위해서 등장한 이론이다. 오퍼라드 이론에서는 결합 대수, 가환 대수 (commutative algebra), 리 대수, 거스텐하버 대수(Gerstenhaber algebra), 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 실제로 한가지 성질로 기술하고 있다. 역사에 대해서는 여러 의견이 분분하나, 대개의 경우 시카고 대학교손더스 매클레인과 그를 이은 피터 메이(J. Peter May)가 처음 고안한 것으로 생각하는 경향이 많다. 현재는 막심 콘체비치를 필두로 해서, 수학뿐만 아니라 이론물리학에서도 양자장론, 끈 이론 등에서 필수적으로 사용되는 아주 세련된 이론으로 거듭나 있고, 지금도 많은 응용이 이루어지고 있는 분야이다.

오퍼라드(operad)는, 쉽게 말하자면 이항 연산(binary operation)을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 바꾼 것으로 보는 것이 가장 이해하기가 쉽다.

정의[편집]

오퍼라드 P라는 것은, 음이 아닌 각각의 정수 n에 대해서 집합들의 열 (P(n))_{n\in\mathbb{N}}을 말하는 것인데, 이 각각의 P(n)n-항 연산 이라고 불리며, 다음의 성질들을 만족해야 한다:

  • 각각의 음이 아닌 정수 n, k_1, ..., k_n에 대해서 함수들

\begin{matrix}
P(n)\times P(k_1)\times\cdots\times P(k_n)&\to&P(k_1+\cdots+k_n)\\
(\theta,\theta_1,\ldots,\theta_n)&\mapsto&\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n)
\end{matrix}

이 주어져 있고,

  • 항등원으로 불리는 어떤 원소 1 in P(1)가 주어져 있고,
  • 결합법칙:

\theta\circ(\theta_1\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,k_1}),\ldots,\theta_n\circ(\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,k_n}))
=
(\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,k_1},\ldots,\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,k_n})
  • 항등법칙:
\theta\circ(1,\ldots,1)=\theta=1\circ\theta

을 만족해야 한다.

두 오퍼라드상의 동형사상 f:P\to Q이라는 것은 함수들의 열

(f_n:P(n)\to Q(n))_{n\in\mathbb{N}}

로써 다음의 성질들을 만족하는 것들이다:

  • \theta and operations \theta_1, ..., \theta_n,

f(\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))
=
f(\theta)\circ(f(\theta_1),\ldots,f(\theta_n))
  •  :f(1)=1.