오차 함수

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오차함수의 그래프

오차 함수(誤差函數, error function)는 확률론, 통계학, 편미분 방정식등에서 사용하는 비초등 함수이다. 가우스 오차 함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다.

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt

오른쪽 항을 테일러 급수로 전개하여 적분하면 모든 실수 x에 대해 다음과 같은 식을 얻는다.

\begin{align}

\operatorname{erf}(x)&= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} \\

&=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

\end{align}
여오차 함수 그래프

'여오차 함수(餘誤差函數)'는 erfc라고 쓰며 오차 함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

\mbox{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt

'복소오차 함수'는 w(x)라고 쓰며 오차함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

w(x) = e^{-x^2}{\textrm{erfc}}(-ix)

정규 분포와의 관계[편집]

오차함수는 정규 분포누적분포함수와 본질적으로 동일하다. Φ라고 쓰며 상수배하거나 평행이동하는 차이 밖에 없다.

\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1+\mbox{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]

정규 분포가 확률론 및 통계학에서 많이 쓰이기 때문에, 오차함수 역시 자주 사용된다.

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