오일러의 연분수 공식

오일러의 연분수 공식(-連分數 公式, Euler's continued fraction formula)은 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 해석학의 공식이다. 기본적으로 어떠한 급수를 연분수로 전개하는 방법을 정리한 것이다. 이 공식을 이용하여 멱급수로 전개 가능한 함수를 연분수 꼴로 표현하는 것도 가능하다.

공식화

유한 복소수항 급수에 대해 오일러의 연분수 공식은 다음과 같다. 이 형태는 오일러가 입안한 초기의 형태이다.

$a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2\cdots a_n = \cfrac{a_0}{1 - \cfrac{a_1}{1 + a_1 - \cfrac{a_2}{1 + a_2 - \cfrac{\ddots}{\ddots \cfrac{a_{n-1}}{1 + a_{n-1} - \cfrac{a_n}{1 + a_n}}}}}}\,$

이것은 단순히 자연수에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 항등식이다. 이러한 공식은 무한 항까지 자연스럽게 확장될 수 있는데, 만약 좌변이 수렴하는 무한급수라면 우변도 역시 수렴하는 무한 연분수가 된다.

현대적인 형태

만약

$x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots}}}}\,$

이 복소 연분수이고 어느 B_i 도 0이 아니라면, 그 비의 열 {r_i}은 다음과 같이 정의할 수 있다.

$r_i = -\frac{a_{i+1}B_{i-1}}{B_{i+1}}.\,$

그러면 다음 두 등식은 귀납법에 의해 증명할 수 있다.

$x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots}}}} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{r_1}{1 + r_1 - \cfrac{r_2}{1 + r_2 - \cfrac{r_3}{1 + r_3 - \ddots}}}}\,$

$x = 1 + \sum_{i=1}^\infty r_1r_2\cdots r_i = 1 + \sum_{i=1}^\infty \left( \prod_{j=1}^i r_j \right)\,$

응용

지수함수의 연분수 표현

복소 지수함수는 전해석함수이고, 테일러 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$e^z = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \left(\prod_{j=1}^n \frac{z}{j}\right)\,$

그러므로 다음과 같이 즉시 오일러의 연분수 공식을 적용할 수 있다.

$e^z = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 + z - \cfrac{\frac{1}{2}z}{1 + \frac{1}{2}z - \cfrac{\frac{1}{3}z} {1 + \frac{1}{3}z - \cfrac{\frac{1}{4}z}{1 + \frac{1}{4}z - \ddots}}}}}.\,$

또는 이를 조금 보기 좋게 쓰면 다음과 같다.

$e^z = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 + z - \cfrac{z}{2 + z - \cfrac{2z}{3 + z - \cfrac{3z}{4 + z - \ddots}}}}}\,$

π의 연분수 표현

오일러의 연분수 공식을 응용하여 유명한 초월수인 상수 π를 연분수 꼴로 쓸 수 있다. 먼저 |z|<1에 대하여 테일러 급수를 이용하면 다음 식을 얻는다.

$\log \frac{1+z}{1-z} = 2\left(z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} + \cdots\right) = 2z \left[1 + \frac{z^2}{3} + \left(\frac{z^2}{3}\right)\frac{z^2}{5/3} + \left(\frac{z^2}{3}\right)\left(\frac{z^2}{5/3}\right)\frac{z^2}{7/5} + \cdots\right].$

그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다.

$\log \frac{1+z}{1-z} = \cfrac{2z}{1 - \cfrac{\frac{1}{3}z^2}{1 + \frac{1}{3}z^2 - \cfrac{\frac{3}{5}z^2}{1 + \frac{3}{5}z^2 - \cfrac{\frac{5}{7}z^2}{1 + \frac{5}{7}z^2 - \cfrac{\frac{7}{9}z^2}{1 + \frac{7}{9}z^2 - \ddots}}}}}\, = \cfrac{2z}{1 - \cfrac{z^2}{z^2 + 3 - \cfrac{(3z)^2}{3z^2 + 5 - \cfrac{(5z)^2}{5z^2 + 7 - \cfrac{(7z)^2}{7z^2 + 9 - \ddots}}}}}.\,$

그런데 이 함수는 z = i에서 값이 존재하고, 실제로 이렇게 된다.

$\frac{1+i}{1-i} = i \quad\Rightarrow\quad \log\frac{1+i}{1-i} = \frac{i\pi}{2}.\,$

또 여기서 급수 표현이 수렴하므로 아벨의 극한 정리에 의해 급수 표현과 이 값은 같고, π를 남기고 연분수로 표현하여 이항하면 바로 π의 연분수 표현을 얻는다.

$\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}.\,$

참고 문헌

• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.