오일러 직선

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(오일러선에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색
오일러선 (붉은색)은 무게중심 (주황색), 수심 (푸른색), 외심 (초록색)과 구점원의 중심 (붉은색)을 한 직선으로 이어준다.

기하학에서 오일러 직선(Euler直線, 영어: Euler line)은 삼각형의 여러 중요한 중심을 지나는 직선이다. 그림에서, 오일러 직선(붉은색)은 수심(푸른색), 구점원의 중심(붉은색), 무게중심(주황색), 외심(초록색)을 지난다. 오일러는 어떤 삼각형에서든지, 수심, 구점원의 중심, 무게중심, 외심이 한 직선 위에 있다는 것을 증명하였다.

정삼각형은 예외로, 정삼각형에서는 이 네 점이 일치하기 때문이다(이 경우에도 '한 직선' 위에 존재한다). 구점원의 중심은 오일러선에서 수심과 외심의 중점이며, 무게중심은 외심과 수심을 1:2로 내분한다. 내심은 이등변삼각형에서만 오일러선 위에 위치한다.

증명[편집]

세르보엉정리[편집]

삼각형 ABC의 수심 H, 외심 O에 대해 BC의 중점을 M이라 하면 AH=2OM이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

오일러 직선.jpg

BH//CE, CH//BE
즉, \Box BECH평행사변형이므로
EM=MH, EO=OA
\triangle AEH \sim \triangle OEM (AA)
\therefore AH//OM, AH=2OM이다.

세르보어 정리에서,

AM과 OH의 교점 G는 AG:GM=2:1인 중선 위의 점이므로 G는 무게중심이다. 따라서 O,G,H는 한 직선 위에 있고, OG:GH=1:2이다.

구점원의 중심과 오일러 직선[편집]

H는 수심, N은 구점원의 중심, O는 외심이면 구점원의 중심은 OH의 중점이다.

증명은 다음과 같다.

오일러 직선 구점원의 중심.png

P는 AH의 중점, , HA는 A에서 BC에 내린 수선의 발이라 하자.

PM은 구점원의 지름이므로 PM의 중점이 N이며, 사각형 PHMO는 평행사변형이다.(구점원 참고)

이때 두 대각선의 교점은 PM의 중점인 구점원의 중심 N이고, 이것은 OH의 중점이다.