열린 사상과 닫힌 사상

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일반위상수학에서, 열린 사상(영어: open map)은 열린 집합열린 집합함수다. 마찬가지로, 닫힌 사상(영어: closed map)은 닫힌 집합닫힌 집합함수다.

정의[편집]

위상 공간 X,Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다.

위상 공간 X,Y 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다.

성질[편집]

함수 X\to Y에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

만약 Y이산 공간이라면, 모든 함수 X\to Y는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합 \{X_i\}_{i\in I}곱공간 \prod_{i\in I}X_i이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 \pi_i\prod_{i\in I}X_i\to X_i은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약 Y콤팩트 공간이라면, 사영 X\times Y\to X는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리).

[편집]

열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수[편집]

함수

\mathbb R\to\mathbb R
x\mapsto x^2

연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합 (-1,1)[0,1)이므로 열린집합이 아니다.

연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수[편집]

함수

\mathbb R\to\mathbb Z
x\mapsto\lfloor x\rfloor

는 (\mathbb Z이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다.

함수

\mathbb S^1\to[0,2\pi)
x\mapsto x

전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수[편집]

사영 함수

\mathbb R^2\to\mathbb R
(x,y)\mapsto x

전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 \{(x,1/x)\colon x\in\mathbb R\}\subset\mathbb R^2(-\infty,0)\cup(0,\infty)이므로 닫힌집합이 아니다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]