연속함수 (위상수학)
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수학의 위상수학 등의 분야에서 연속함수(continuous function)는 위상공간들 사이의 사상이다. 간단히 말하면 함수 f 의 함수값 f(x)를 포함하는 임의의 근방 U 에 대해, x 를 포함하는 충분히 작은 근방을 선택하면 그것이 f 를 통해 U 안으로 보내지는 경우를 말하며, 이는 가까운 점들이 가까운 점으로 보내진다는 고전적인 거리공간 상의 연속함수의 정의를 일반화한 것이다.
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[편집] 정의
연속함수의 정의는 가장 일반적으로 열린 집합을 사용하여 정의하는데, 경우에 따라 몇몇 동등한 정의를 사용하여 정의하기도 한다.
[편집] 열린 또는 닫힌 집합을 사용한 정의
열린 집합을 사용한 정의는 가장 일반적인 연속함수의 정의이다. 어떤 함수 f : X → Y 가 연속(continuous)이라는 것은 Y 에서 열려있는 모든 집합 V 의 원상 f -1(V) 가 X 에서 열린 집합인 것을 말한다.
마찬가지로 닫힌 집합을 사용하여, 어떤 함수 f : X → Y 가 연속이라는 것은 Y 에서 닫혀있는 모든 집합 V 의 원상 f -1(V) 가 X 에서 닫힌 집합인 것을 말한다.
이 정의들을 원상을 사용한 정의라고 부르기도 한다.
[편집] 근방을 사용한 정의
원상을 이용한 정의는 집합 전체를 다루기 때문에 조금 사용하기 어렵다. 때문에 각 점을 기준으로 연속인지를 알아볼 수 있으면 편리하게 어떤 함수가 연속인지 알 수 있다. 즉 다음과 같이 연속을 정의한다.
- 임의의 점 x ∈ X 와 f(x) 의 근방 V 에 대해 f(U) ⊂ V 인 x 의 근방 U 가 존재한다.
특별히 어느 점 x ∈ X 에서 위 조건을 만족할 경우 함수 f 가 점 x 에서 연속이다(continuous at the point x)라 한다.
[편집] 닫힘을 사용한 정의
연속은 닫힘을 사용하여 정의할 수도 있다. A 를 X 의 임의의 부분집합이라 할 때, 항상 f(A) ⊂ f(A) 이면 함수 f 를 연속이라고 한다.
[편집] 성질
연속함수는 위상공간의 몇가지 성질을 보존하기 때문에 매우 유용하다.
- f : X → Y 와 g : Y → Z 가 연속이면, 함성함수 g o f : X → Z 도 연속이다.
- f : X → Y 가 연속이면
[편집] 참고문헌
- James R. Munkres (2000). Topology, Second Edition, Prentice Hall
