작용소노름

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연산자 이론에서, 작용소노름(作用素norm, 영어: operator norm)은 노름공간 위의 유계선형작용소노름이다.

정의[편집]

노름공간 VW 사이 선형변환 T: VW가 연속일 필요충분조건은 다음을 만족하는 실수 c가 존재하는 것이다.

\|Tx\|_W \le c \|x\|_V \quad \forall x\in V

직관적으로 이를 보면, 연속작용소 A는 벡터의 길이를 c 이상 늘리지 못한다. 따라서 연속작용소에 의한 유계인 집합의 또한 유계이다. 이 성질 때문에, 연속인 선형변환들을 유계선형작용소라고 부른다. 이 때문에 A의 크기를 재기 위해서, 모든 V 안의 x에 대해 위의 부등식을 만족하는 최소의 c를 찾는다. 다시 말하면, A의 크기를 A에 의해 조절된 벡터의 크기의 상대적 값의 최소로 정의할 수 있다. 따라서 유계선형작용소 T작용소노름 \|T\|_{\text{op}}을 다음과 같이 정의한다.

\|T\|_{\text{op}} := \inf \{ c>0 : \|Tx\|_W \le c \| x \|_V \quad \mbox{ for all } x\in V \}

동등한 정의[편집]

위 정의로부터 출발하여 아래의 정의들 또한 위와 동등한 정의임을 확인할 수 있다.

\begin{align}
\|T\| & = \inf\{c : \|Tx\| \le c\|x\| \mbox{ for all } x\in V\}
\\&= \inf\{c : {\|Tx\| \over \|x\|} \le c \mbox{ for all } x\in V\}
\\&= \sup_{x\ne 0} \left \{ \frac{\|Tx\|}{\|x\|} : x\in V \right \}
\\&= \sup_{x\ne 0} \left \{ \left \| T \left( \frac{x}{\|x\|}\right) \right\| : x\in V \right \}
\\&= \sup_{\|x\| = 1} \{ \|Tx\| : x\in V \}
\\&= \max_{\|x\| = 1} \{ \|Tx\| : x\in V \}
\end{align}

성질[편집]

작용소노름은 노름이므로 아래의 성질을 만족한다.

\|A\| \ge 0 \mbox{ and } \|A\| = 0 \mbox{ if and only if } A = 0
\|aA\| = |a| \|A\| \quad\mbox{ for every scalar } a
\|A + B\| \le \|A\| + \|B\|

작용소노름의 정의로부터 다음의 성질이 항상 성립함을 알 수 있다.

\|Ax\| \le \|A\| \|v\| \quad\mbox{ for every } x\in V .

같이 보기[편집]