연산자노름

연산자노름(operator norm)이란 수학에서 선형연산자의 크기와 유사한 의미를 갖는다. 엄밀히 말하면, 연산자노름은 두 노름벡터공간의 유계선형작용소의 공간에서 정의되는 노름이다.

도입과 정의

주어진 두 노름벡터공간 V와 W에서 선형 사상 T : V → W가 연속일 필요충분조건은 다음을 만족하는 실수 c가 존재하는 것이다.

$\|Tx\| \le c \|x\| \quad \mbox{ for all } x\in V$

(여기서 왼쪽의 노름은 W의 노름, 왼쪽의 노름은 V의 노름임에 유의하자.) 직관적으로 이를 보면, 연속연산자 A는 벡터의 길이를 c이상 늘리지 못한다. 따라서 연속연산자에 의한 유계인 집합의 상 또한 유계이다. 이 성질 때문에, 연속인 선형연산자들은 유계연산자로 알려져 있기도 하다. 이 때문에 A의 크기를 재기 위해서, 모든 V안의 x에 대해 위의 부등식을 만족하는 최소의 c를 찾는다. 다시 말하면, A의 크기를 A에 의해 조절된 벡터의 크기의 상대적 값의 최소로 정의할 수 있다. 따라서 연산자노름을 다음과 같이 정의한다.

$\|T\| := \inf \{ c>0 : \|Tx\| \le c \| x \| \quad \mbox{ for all } x\in V \}$

동등한 정의

위 정의로부터 출발하여 아래의 정의들 또한 위와 동등한 정의임을 확인할 수 있다.

$\begin{align} \|T\| & = \inf\{c : \|Tx\| \le c\|x\| \mbox{ for all } x\in V\} \\&= \inf\{c : {\|Tx\| \over \|x\|} \le c \mbox{ for all } x\in V\} \\&= \sup_{x\ne 0} \left \{ \frac{\|Tx\|}{\|x\|} : x\in V \right \} \\&= \sup_{x\ne 0} \left \{ \left \| T \left( \frac{x}{\|x\|}\right) \right\| : x\in V \right \} \\&= \sup_{\|x\| = 1} \{ \|Tx\| : x\in V \} \\&= \max_{\|x\| = 1} \{ \|Tx\| : x\in V \} \end{align}$

성질

연산자노름은 노름이므로 아래의 성질은 만족한다.

$\|A\| \ge 0 \mbox{ and } \|A\| = 0 \mbox{ if and only if } A = 0$

$\|aA\| = |a| \|A\| \quad\mbox{ for every scalar } a$

$\|A + B\| \le \|A\| + \|B\|$

연산자노름의 정의로부터 다음의 성질이 항상 성립함을 알 수 있다.

$\|Ax\| \le \|A\| \|v\| \quad\mbox{ for every } x\in V .$