역격자

결정학에서, 브라베 격자의 역격자(逆格子, reciprocal lattice)는 원래 격자의 모든 격자 벡터와의 내적이 정수인 벡터들이 이루는 브라베 격자이다.

정의

$\Lambda\subset\mathbb R^n$이 브라베 격자라고 하자. 즉, 유한한 수의 생성원을 가지고, 그 선형생성 부분공간(span)이 $\mathbb R^n$ 전체인 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 $\Lambda$의 역격자 $\Lambda^{-1}$는 다음과 같은 집합이다.

$\Lambda^{-1}=\{\mathbf v\in\mathbb R^n\colon\mathbf v\cdot\mathbf u\in\mathbb Z\forall\mathbf u\in\Lambda\}$.

$\Lambda^{-1}$이 브라베 격자를 이룬다는 사실은 쉽게 확인할 수 있다.

역격자의 기저는 원래 격자의 기저들의 성분이 이루는 행렬의 역행렬이다. 즉, 원래 격자의 기저가 $\{\mathbf a_i\}$ ($i=1,\dots,n$)이면, 역격자의 기저 $\{\mathbf b_i\}$는 다음을 만족한다.

$\left[\mathbf b_1\mathbf b_2\cdots\mathbf b_n\right]^\top =\left[\mathbf a_1\mathbf a_2\cdots\mathbf a_n\right]^{-1}.$

3차원에서는 역격자의 기저를 외적을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\mathbf b_1=\frac{\mathbf a_2\times\mathbf a_3}{\mathbf a_1 \cdot (\mathbf a_2 \times \mathbf a_3)}$

$\mathbf b_2=\frac{\mathbf a_3 \times \mathbf a_1}{\mathbf a_1 \cdot (\mathbf a_2 \times \mathbf a_3)}$

$\mathbf b_3=\frac{\mathbf a_1 \times \mathbf a_2}{\mathbf a_1\cdot (\mathbf a_2 \times \mathbf a_3)}$.

수학과 결정학에서는 위와 같은 정의를 사용하지만, 고체물리학에서는 간혹 다음과 같은 정의를 사용하기도 한다.

$\Lambda^{-1}=\{\mathbf v\in\mathbb R^n\colon\mathbf v\cdot\mathbf u/2\pi\in\mathbb Z\forall\mathbf u\in\Lambda\}$.

이는 앞의 정의에 비교하여 벡터가 $2\pi$배 더 긴 것 밖에는 차이가 없다.