엇호프트-폴랴코프 자기 홀극

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엇호프트-폴랴코프 자기 홀극('t Hooft–Polyakov monopole)은 게이지 이론에서 발생하는 자기 홀극이다. 헤라르뒤스 엇호프트알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 독립적으로 1974년에 고안하였다.[1][2] 표준 모형에는 존재하지 않지만, 대부분의 대통일 이론은 이를 포함한다. 아직 실험적으로 발견되지 않았다.

정의[편집]

시공간이 \mathbb R^{d+1}이라고 하자. 가능한 진공 상태들의 집합을 \mathcal M이라고 하자. 그렇다면 위상수학적으로 자명하지 않은 상태들은 공간의 무한대 S^{d-1}에서 \mathcal M으로 가는 연속함수들의 호모토피류들의 집합, 즉 제d-1차 호모토피 군 \pi_{d-1}(\mathcal M)에 의하여 분류된다.

게이지 군 G를 가진 게이지 이론자발 대칭 깨짐을 겪어 H\subset G로 깨진다고 하자. 이 경우, 진공 상태들의 집합은 잉여류 공간 G/H이다. 이에 따라, 만약 호모토피 군 \pi_{d-1}(G/H)가 자명하지 않다면 위상수학적으로 보존되는 상태들이 존재한다. 이들은 H에 대하여 자기 홀극임을 보일 수 있다. 이들을 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이라고 한다.

호모토피 군 \pi_{d-1}(G/H)는 다음과 같은 긴 완전열을 통해 계산할 수 있다.

\dotsb\to\pi_k(H)\to\pi_k(G)\to\pi_k(G/H)\to\pi_{k-1}(H)\to\pi_{k-1}(G)\to\pi_{k-1}(G/H)\to\dotsb\to\pi_1(H)\to\pi_1(G)\to\pi_1(G/H)\to\pi_0(H)\to\pi_0(G)\to0

특히, 리 군의 2차 호모토피 군은 항상 자명하다. 따라서, d=3인 경우,

0\to\pi_2(G/H)\to\pi_1(H)\xrightarrow\iota\pi_1(G)\to\dotsb

이므로

\pi_2(G/H)=\ker\iota\subset\pi_1(H)

이다. 만약 G단일연결공간이라면,

\pi_2(G/H)\cong\pi_1(H)

이다.

대통일 이론에서의 자기 홀극[편집]

대통일 이론에서는

  • G는 대통일군 (예를 들어 SU(5) 또는 SO(10))
  • H=SU(3)\times SU(2)\times U(1)표준 모형의 게이지군
  • d=3 (공간의 차원)

이다. 대통일군은 보통 반단순(semisimple) 리 군인데, 이 경우 그 기본군은 유한 아벨 군이다. 예를 들어,

이다. 반면 표준 모형의 게이지 군의 기본군은

  • \pi_1(H)=\pi_1(U(1))=\mathbb Z

이다. 따라서, \pi_1(G)=\Gamma가 유한 아벨 군이라면 군 준동형사상

\mathbb Z\to\Gamma

은 항상 \mathbb Z이다. 따라서, 대통일군이 반단순 리 군인 경우 (또는 일반적으로 대통일군의 기본군유한군일 때) 항상 자기 홀극이 존재한다.

특성[편집]

양-밀스 이론에서 게이지 군이 힉스 메커니즘으로 인하여 자발 대칭 깨짐을 겪는 경우 발생한다. 디랙 자기 홀극과 유사하지만 특이점이 없고, 유한한 총 에너지를 가진다.

엇호프트-폴랴코프 홀극은 원점을 근처로 국소화돼 있으며, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 디랙 자기홀극으로 수렴한다. 그러나 원점에서는 게이지 군은 깨지지 않는다. 힉스 장 H_i (i=1,2,3) 은 x_i f(|x|)에 비례한다.

대부분의 게이지 이론은 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가지지만, 특수한 경우에는 그렇지 않을 수도 있다. 정확히 말하면, (옹골 리군이라고 가정한) 게이지 대칭 리대수가 가환 부분을 가지고, 또 전하 연산자가 리대수의 반단순 부분대수에 포함되지 않은 경우, 자기 홀극이 존재하지 않을 수 있다.[3] 표준 모형의 경우 SU(2)×U(1)에서 U(1)이라는 가환부분군이 있고, 또 전하 연산자가 순수히 SU(2)안에 들어있지 않고 SU(2)×U(1)에 대각으로 걸쳐 있으므로, 자기 홀극이 존재하지 않는다.

대부분의 대통일 이론은 반단순 리군(SU(5), SO(10) 등)으로 나타내어지므로, 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가진다. 그러나 자기 홀극은 아직 실험적으로 관측되지 않았다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) 't Hooft, G. (1974년 9월 18일). Magnetic monopoles in unified gauge theories. 《Nuclear Physics B》 79 (2): 276–284. doi:10.1016/0550-3213(74)90486-6. Bibcode1974NuPhB..79..276T.
  2. (러시아어) Поляков, А.М. (1974년 9월 25일). Спектр частиц в квантовой теории поля. 《Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики Письма и Редакцию》 20 (6): 430–432. Bibcode1974ZhPmR..20..430P.
  3. B. T. McInnes (1984). J. Phys. A: Math. Gen. 17: 3287.