야코비 기호

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야코비 기호(Jacobi symbol)는 카를 구스타프 야코프 야코비1837년 제시한 기호로, 르장드르 기호소수뿐만이 아니라 모든 양의 홀수 범위로 확장한 것이다.

임의의 홀수 nn = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}의 꼴로 소인수분해될 때,

\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2} \cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}

로 정의된다. 여기에서 p가 소수일 때의 (\tfrac{a}{p})르장드르 기호를 가리킨다.

크로네커 기호는 야코비 기호를 홀수 범위에서 모든 정수 범위로 확장한 기호이다.

성질[편집]

아래의 네 성질은 르장드르 기호에서의 성질과 동일하다.

  1. \left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)
  2. a \equiv b \pmod{n}이면 \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)
  3. \left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2}}=\begin{cases}1\mbox{ if }n \equiv 1\pmod{4} \\-1\mbox{ if }n \equiv 3\pmod{4}  \end{cases}
  4. m, n이 홀수일 때 \left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{\tfrac{m-1}{2}\tfrac{n-1}{2}} (이차상호법칙)