야코비 기호

야코비 기호(Jacobi symbol)는 구스타브 야코비가 1837년 제시한 기호로, 르장드르 기호를 소수뿐만이 아니라 모든 양의 홀수 범위로 확장한 것이다.

임의의 홀수 $n$이 $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$의 꼴로 소인수분해될 때,

$\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2} \cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}$

로 정의된다. 여기에서 $p$가 소수일 때의 $(\tfrac{a}{p})$는 르장드르 기호를 가리킨다.

크로네커 기호는 야코비 기호를 홀수 범위에서 모든 정수 범위로 확장한 기호이다.

성질

아래의 네 성질은 르장드르 기호에서의 성질과 동일하다.

1. $\left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)$
2. $a \equiv b \pmod{n}$이면 $\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)$
3. $\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{n-1}{2}}=\begin{cases}1\mbox{ if }n \equiv 1\pmod{4} \\-1\mbox{ if }n \equiv 3\pmod{4} \end{cases}$
4. m, n이 홀수일 때 $\left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{\tfrac{m-1}{2}\tfrac{n-1}{2}}$ (이차상호법칙)