알렉산더의 뿔 달린 구
위키백과, 우리 모두의 백과사전.
알렉산더의 뿔 달린 구(Alexander horned sphere)는 수학에서 가장 유명한 병적인 예(pathological examples) 중의 하나로서, 1924년 제임스 알렉산더 2세(James Waddell Alexander II)가 발견하였다. 이것은 3차원 유클리드 공간에서 구를 특별한 방법으로 묻은(embedding) 것으로, 표준적인 원환체(torus)에서 다음과 같은 과정을 거친다.
- 원환체의 휘어진 한쪽 부분을 제거한다.
- 잘려진 각 면에 표준적인 구멍난 원환체를 각각 연결한다.
- 두 원환체를 붙이는 위 과정을 무한히 반복한다.
어느 단계에서도 제거되지 않는 점들을 고려한다면, 이 과정의 결과로 묻힌(embedded) 구에서 칸토어 집합(Cantor set)이 제거된다.
내부를 포함한 뿔 달린 구는 위상적으로 3차원 공(ball)이 되는데, 이를 알렉산더의 뿔 달린 공(Alexander horned ball)이라 부르고, 따라서 단일연결(simply connected)이다. 즉, 모든 루프는 공간 내부에서 한 점으로 축소가능하다. 그러나 외부는 보통 공의 외부와는 달리 단일연결이 아니다. 즉, 위의 구성에서 원환체에 걸린 루프는 뿔 달린 구를 건드리지 않고 한 점으로 축소될 수 없다.
