아이젠슈타인 기준

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아이젠슈타인 기준(독일어: Eisensteinkriterium, -基準)은 환론에서 다항식기약성을 다룰 때 사용되는 초보적인 정리이다. 독일 수학자 고트홀트 아이젠슈타인의 이름이 붙어 있다. 20세기 초까지는 종종 테오도어 쇠네만(Theodor Schönemann)의 이름도 넣어 쇠네만-아이젠슈타인 정리라는 명칭도 사용되었으나 현재는 잘 쓰이지 않는다.[1][2]

공식화[편집]

다음과 같은 정수계수다항식 Q가 있다고 하자.

Q=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.\,

그러면, 다음 조건을 모두 만족하는 소수 p가 존재할 경우 Q는 유리수 상에서 기약다항식이다.[3]

  1. p가 a0부터 an-1까지의 계수를 모두 나누고,
  2. an은 나누지 않으며,
  3. p2가 a0을 나누지 않는다.

또, 이 기준을 거꾸로 충족해도 기약다항식이 된다. 즉, 다음 조건을 모두 만족하는 소수 p가 존재하면 Q는 유리수 상에서 기약이다.

  1. p가 a1부터 an까지의 계수를 모두 나누고,
  2. a0은 나누지 않으며,
  3. p2가 an을 나누지 않는다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. David A. Cox, "Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first", American Mathematical Monthly 118 Vol 1, January 2011, pp. 3–31.
  2. H. L. Dorwart, Irreducibility of polynomials, American Mathematical Monthly 42 Vol 6 (1935), 369–381, doi:10.2307/2301357.
  3. John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003, p.215.

참고 문헌[편집]

  • John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.