아이젠슈타인 기준

아이젠슈타인 기준(독일어: Eisensteinkriterium, -基準)은 환론에서 다항식의 기약성을 다룰 때 사용되는 초보적인 정리이다. 독일 수학자 페르디난트 고트홀트 막스 아이젠슈타인(Ferdinand Gotthold Max Eisenstein)의 이름이 붙어 있다. 20세기 초까지는 종종 테오도어 쇠네만(Theodor Schönemann)의 이름도 넣어 쇠네만-아이젠슈타인 정리라는 명칭도 사용되었으나 현재는 잘 쓰이지 않는다.

공식화

다음과 같은 정수계수다항식 Q가 있다고 하자.

$Q=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.\,$

그러면, 다음 조건을 모두 만족하는 소수 p가 존재할 경우 Q는 유리수 상에서 기약다항식이다.

1. p가 a₀부터 a_n-1까지의 계수를 모두 나누고,
2. a_n은 나누지 않으며,
3. p²가 a₀을 나누지 않는다.

또, 이 기준을 거꾸로 충족해도 기약다항식이 된다. 즉, 다음 조건을 모두 만족하는 소수 p가 존재하면 Q는 유리수 상에서 기약이다.

1. p가 a₁부터 a_n까지의 계수를 모두 나누고,
2. a₀은 나누지 않으며,
3. p²가 a_n을 나누지 않는다.

같이 보기

• 콘의 기약성 기준
• 힐베르트의 기약성 정리

참고 문헌

• John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.