아이디얼류군

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대수적 수론가환대수학에서, 아이디얼류군(ideal類群, 영어: ideal class group) 또는 유군(類群, 영어: class group)은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 아벨 군이다. 아이디얼류군이 자명군이 아니라면 유일 인수 분해가 성립하지 않는다.

정의[편집]

정역 R의 0이 아닌 아이디얼들의 집합 위에 다음과 같은 동치관계를 부여하자.

\mathfrak a\sim\mathfrak b\iff\exists r,s\in R\setminus\{0\}\colon(r)\mathfrak a=(s)\mathfrak b

여기서 (r)r로 생성되는 주 아이디얼이다. 이 관계는 동치관계임을 보일 수 있으며, 또한 아이디얼의 곱셈과 호환된다. 즉, 이에 따른 동치류 집합은 가환 모노이드를 이룬다. 만약 R데데킨트 정역이라면 이 가환 모노이드아벨 군을 이룸을 보일 수 있으며, 이 아벨 군을 R아이디얼류군이라고 하고, 아이디얼류군의 크기를 유수(類數, 영어: class number)라고 한다.

아이디얼류군은 분수 아이디얼로도 정의할 수 있다. R의 0이 아닌 분수 아이디얼의 집합에 다음과 같은 동치관계를 부여하자.

I\sim J\iff\exists a\in\operatorname{Frac}(R)\setminus\{0\}\colon(a)I=J

여기서 (a)분수체의 원소 a\in\operatorname{Frac}(R)로 생성되는 주 분수 아이디얼이다. 이 경우, 이 동치관계에 대한 동치류 집합은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 또한 모든 동치류에서 항상 (정수) 아이디얼인 대표원을 고를 수 있다. (따라서 이 정의는 (정수) 아이디얼을 사용한 정의와 같다.) 데데킨트 정역의 경우 모든 분수 아이디얼은 가역원이며, 따라서 이 동치류 모노이드는 아벨 군을 이룬다. 이 아벨 군은 R의 아이디얼류군과 동형이며, 분수 아이디얼의 아벨 군의 주 아이디얼 부분군에 대한 몫군이다.

성질[편집]

대수적 수체대수적 정수환의 아이디얼류군은 유한 아벨 군이다. (대수적 정수환이 아닌 데데킨트 환의 경우, 아이디얼류군이 무한 아벨 군일 수 있다.)

아이디얼류군은 데데킨트 정역에서 유일 인수분해가 실패하는 정도를 측정한다. 즉, 데데킨트 정역 R의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

[편집]

일반적으로 아이디얼류군은 매우 복잡한 패턴을 보이며, 많은 경우 계산하기 힘들다. 계산된 아이디얼류군 또는 유수들의 예를 다음 표에 수록하였다.

수체 유군 유수
\mathbb Q 1 1
\mathbb Q[\sqrt{-d}], d=1,2,3,7,11,19,43,67,163 1 1
\mathbb Q[\sqrt{-5}] \mathbb Z/2\mathbb Z 2
\mathbb Q[\sqrt d], d=2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17,\dots (OEIS의 수열 A003172) 1 1
\mathbb Q(\zeta_n), n=1,\dots,22, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A005848) 1 1
\mathbb Q(\zeta_{23}) \mathbb Z/3\mathbb Z 3
\mathbb Q(\zeta_{29})[1] (\mathbb Z/2\mathbb Z)^3 8
\mathbb Q(\zeta_{31}) 9
\mathbb Q(\zeta_{68})[1] \mathbb Z/8\mathbb Z 8
\mathbb Q[x]/(x^3-x^2-2x+1) 1 1
\mathbb Q[x]/(x^3-3x-1) 1 1
\mathbb Q[x]/(x^3-x^2-3x+1) 1 1

아이디얼류군이 자명한 허수 이차 수체의 수는 유한하다. \mathbb Q[\sqrt{-d}]에서 가능한 d는 총 9개이며, 다음과 같다.

d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 173 (OEIS의 수열 A003173)

이 수들을 헤그너 수라고 한다. 이들은 카를 프리드리히 가우스가 처음 나열하였고, 쿠르트 헤그너(Kurt Heegner)가 이 목록이 전부라는 것을 증명하였다.

실수 이차 수체 \mathbb Q[\sqrt d] 가운데 유수가 1인 경우는 더 많으며, 다음과 같다.[2]:37

d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, … (OEIS의 수열 A003172)

아이디얼류군이 자명한 원분체의 수는 유한하다. \mathbb Q[\zeta_n]이 유한한 경우는 다음과 같다.

n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A005848)

여기서 만약 n\equiv2\pmod4라면 \mathbb Q[\zeta_n]=\mathbb Q[\zeta_{n/2}]이므로, 이러한 경우는 생략하였다.

소수 계수의 원분체 \mathbb Q[\zeta_p]의 유수는 (OEIS의 수열 A005848)에 의하여 주어진다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Gerth, Frank (1980년). The ideal class groups of two cyclotomic fields. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 78: 321–322. doi:10.1090/S0002-9939-1980-0553367-5. MR553367.
  2. Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]