아이디얼류군

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

대수적 수론에서, 대수적 수체아이디얼류군(ideal類群, ideal class group), 줄여서 유군(類群, 영어: class group)은 그 수체의 대수적 정수환에서 유일 인수분해가 실패하는 정도를 측정하는 유한 아벨 군이다. 유군이 자명군이 아니라면 수체의 대수적 정수환에서 유일 인수분해가 성립하지 않게 된다.

정의 및 성질[편집]

R이 정역일 때, R의 0이 아닌 아이디얼들 사이에 다음과 같은 동치관계를 정의하자.

I\sim J\leftrightarrow\exists r,s\in R\colon(r)I=(s)J

(여기에서 (a)는 a로 생성되는 주 아이디얼을 뜻한다.) 이것이 동치관계임은 간단히 보일 수 있다. 이 관계의 동치류를 R의 아이디얼류라 하고, 아이디얼류의 집합을 \operatorname{Cl}(R)라고 쓰자. 아이디얼 I의 아이디얼류를 [I]로 쓰고, [I][J] = [IJ]로 정의하면 이는 잘 정의된 가환 곱셈이 된다. 아이디얼 I에 대해 아이디얼 J가 존재해서 IJ가 주 아이디얼이면 [J]가 [I]의 역원이라 한다. 일반적인 정역의 경우 아이디얼류의 역원은 존재하지 않을 수 있으며, 따라서 환의 아이디얼류들의 집합은 모노이드를 이루지만, 아이디얼류의 역원은 존재하지 않을 수 있으므로 을 이루지 않는다.

그러나 R이 대수적 수체대수적 정수환이거나, 보다 일반적으로 데데킨트 정역인 경우에는 아이디얼류들의 집합은 아벨 군이 되며, 이를 R의 아이디얼류군이라 한다. 유군이 자명군(원소가 하나뿐인 군)일 필요충분조건은 R이 주 아이디얼 정역이라는 것이며, 따라서 아이디얼류군은 R이 주 아이디얼 정역로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 측정한다. (참고로, 데데킨트 정역에 대해서는 PID와 UFD(유일 인수분해 정역)가 동치이다.)

대수적 수체 K유수(類數, 영어: class number)는 그 아이디얼류군의 크기이다. 대수적 수체의 유수는 항상 유한하다. (일반적인 데데킨트 정역의 경우 유수가 무한할 수 있다.)

[편집]

일반적으로 아이디얼류군은 매우 복잡한 패턴을 보이며, 많은 경우 계산하기 힘들다. 계산된 아이디얼류군 또는 유수들의 예를 다음 표에 수록하였다.

수체 유군 유수
\mathbb Q 1 1
\mathbb Q[\sqrt{-d}], d=1,2,3,7,11,19,43,67,163 1 1
\mathbb Q[\sqrt{-5}] \mathbb Z/2\mathbb Z 2
\mathbb Q[\sqrt d], d=2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17,\dots (OEIS의 수열 A003172) 1 1
\mathbb Q(\zeta_n), n=1,\dots,22, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A005848) 1 1
\mathbb Q(\zeta_{23}) \mathbb Z/3\mathbb Z 3
\mathbb Q(\zeta_{29})[1] (\mathbb Z/2\mathbb Z)^3 8
\mathbb Q(\zeta_{31}) 9
\mathbb Q(\zeta_{68})[1] \mathbb Z/8\mathbb Z 8
\mathbb Q[x]/(x^3-x^2-2x+1) 1 1
\mathbb Q[x]/(x^3-3x-1) 1 1
\mathbb Q[x]/(x^3-x^2-3x+1) 1 1

아이디얼류군이 자명한 허수 이차 수체의 수는 유한하다. \mathbb Q[\sqrt{-d}]에서 가능한 d는 총 9개이며, 다음과 같다.

d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 173 (OEIS의 수열 A003173)

이 수들을 헤그너 수라고 한다. 이들은 카를 프리드리히 가우스가 처음 나열하였고, 쿠르트 헤그너(Kurt Heegner)가 이 목록이 전부라는 것을 증명하였다.

실수 이차 수체 \mathbb Q[\sqrt d] 가운데 유수가 1인 경우는 더 많으며, 다음과 같다.[2]:37

d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, … (OEIS의 수열 A003172)

아이디얼류군이 자명한 원분체의 수는 유한하다. \mathbb Q[\zeta_n]이 유한한 경우는 다음과 같다.

n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A005848)

여기서 만약 n\equiv2\pmod4라면 \mathbb Q[\zeta_n]=\mathbb Q[\zeta_{n/2}]이므로, 이러한 경우는 생략하였다.

소수 계수의 원분체 \mathbb Q[\zeta_p]의 유수는 (OEIS의 수열 A005848)에 의하여 주어진다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Gerth, Frank (1980년). The ideal class groups of two cyclotomic fields. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 78: 321–322. doi:10.1090/S0002-9939-1980-0553367-5. MR553367.
  2. Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory

함께 보기[편집]