시그마-대수

집합 X 상의 σ-대수(시그마-대수)는 집합 X의 멱집합의 부분집합으로, 여집합 연산과 가산개의 합집합 연산에 대해 닫혀 있는 성질을 가지는 것을 의미한다.

예를 들어, $X = \{a, b, c, d\}$일 때, $\Sigma = \{ \varnothing, \{a, b\}, \{c, d\}, \{a, b, c, d\}\}$는 $X$상의 σ-대수이다.

σ-대수는 측도를 정의할 때에 주로 사용된다. 이때 σ-대수에 속하는 집합은 측도가능한 집합이라고 부르며, $(X, \Sigma)$는 측도가능한 공간 혹은 가측공간(measurable space)이라고 부른다.

두 집합 $X, Y$와 각각의 σ-대수 $\mathcal{F}, \mathcal{G}$가 주어졌을 때, 함수 $f: X \to Y$가 임의의 집합 $B \in \mathcal{G}$에 대해 이 집합의 원상 $f^{-1}(Y) = \{x: f(x) \in Y\}$이 $\mathcal{F}$에 속할 경우, $f$는 가측함수, 측도가능한 함수라고 정의한다. 즉, 가측함수는 측도가능성을 보존하는 함수를 의미한다.

정의

집합 $X$에 대해, 멱집합 $2^X$의 부분집합 $\Sigma \subseteq 2^X$가 다음 조건을 만족하면 시그마-대수라고 한다.

1. $\Sigma$는 공집합이 아니다.
2. $\Sigma$는 여집합 연산에 대해 닫혀 있다. 즉, 집합 $E$가 $\Sigma$에 속하면, $E$의 여집합 $X \setminus E$도 $\Sigma$에 속한다.
3. $\Sigma$의 가산 합집합에 대해 닫혀 있다. 즉, 집합 $E_1, E_2, \cdots$가 $\Sigma$에 속하면, $\bigcup_{i=1}^\infty E_i$도 $\Sigma$에 속한다.

위 정의로부터, $\Sigma$는 공집합 $\O$와 전체집합 $X$을 갖는다는 것을 유도할 수 있다. 또한, 드 모르간의 법칙에 따라 $\Sigma$는 가산 교집합에 대해서도 닫혀 있다.

위의 세 가지 조건에서 첫번째 조건을 제외하고, 두번째 조건에서 여집합 대신 차집합 연산을 사용하는 경우 시그마-환이라고 부른다.

두 시그마-대수의 교집합은 다시 시그마-대수가 된다. 이것은 시그마-대수의 정의를 이용하여 보일 수 있다.

예제

$X$를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 $X$의 시그마-대수이다.

• $\{\O, X\}$. 이 집합족은 자명한 시그마-대수라고 정의한다.
• $X$의 멱집합 $2^X$
• $X$의 부분집합 중, 가산집합인 것과 여집합이 가산집합인 것들을 모은 집합족. (만약 X가 비가산집합이라면 이 집합족은 X의 멱집합과는 다르다.)

생성된 시그마-대수

집합 $X$와 집합족 $\mathcal{F} \subseteq 2^X$에 대해, $\mathcal{F}$를 포함하는 모든 시그마-대수를 교집합한 것은 다시 시그마-대수가 되며, 이러한 집합족은 유일하게 결정된다. 그러한 집합족을 $\mathcal{F}$에 의해 생성된 시그마-대수라고 정의하고, $\sigma(\mathcal{F})$로 표기한다.