시그마 대수

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측도론에서, 시그마 대수(영어: sigma-algebra)는 여집합 연산과 가산개의 합집합 연산에 대해 닫혀 있는 부분집합들의 집합이다. 시그마 대수가 갖추어진 집합을 가측공간(可測空間, 영어: measurable space)이라고 하며, 이 경우 시그마 대수는 측도를 정의할 수 있는 부분집합들이다.

정의[편집]

집합 X 위의 시그마 대수는 다음 두 조건을 만족시키는, 멱집합 \mathcal P(X)의 부분집합 \mathcal F \subset\mathcal P(X)이다.

  • (여집합에 대한 닫힘) 모든 S\in\mathcal F에 대하여, X\setminus S\in\mathcal F이다.
  • (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분집합 T\subset\mathcal F (|T|\le\aleph_0)에 대하여, \bigcup T\in\mathcal F이다. 이 경우, 만약 T=\varnothing일 경우 \bigcup\varnothing=\varnothing으로 정의한다.

가측공간 (X,\mathcal F)는 집합과 그 위의 시그마 대수의 순서쌍이다. 가측공간의 시그마 대수의 원소를 가측집합(영어: measurable set)이라고 한다.

시그마 대수의 정의에서, 여집합 대신 차집합 연산을 사용하는 경우를 시그마 환(영어: sigma-ring)이라고 부른다.

성질[편집]

모든 시그마 대수는 공집합 \varnothing과 전체집합 X을 포함한다. 또한, 드 모르간의 법칙에 따라 시그마 대수는 가산 교집합에 대해서도 닫혀 있다.

임의의 개수의 시그마 대수의 교집합은 시그마 대수이다. 즉, 집합 X 위의 시그마 대수의 족 \mathcal F_\alpha\subset\mathcal P(X) (\alpha\in I)의 교집합 \bigcap_{\alpha\in I}F_\alpha 역시 X 위의 시그마 대수를 이룬다. 이 경우, 교집합은 비가산개일 수도 있다.

따라서, 임의의 집합족 \mathcal F\subset\mathcal P(X)에 대해, \mathcal F를 포함하는 모든 시그마 대수의 교집합은 \mathcal F를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이며, 이를 \mathcal{F}에 의해 생성된 시그마 대수 \sigma(\mathcal F)라고 한다.

[편집]

X를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 X의 시그마 대수이다.

  • 양의 정수가 아닌 임의의 기수 \kappa에 대하여, \left\{S\subset X|\min\{|S|,|X\setminus S|\}\le\kappa\right\}는 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 X의 부분집합 가운데 크기가 \kappa 이하이거나 그 여집합의 크기가 \kappa 이하인 집합들의 족이다.
    • 만약 \kappa=0이라면, 이는 \{\varnothing, X\}이다. 이 집합족은 자명 시그마 대수라고 정의한다.
    • 만약 \kappa\ge|X|라면, 이는 X멱집합 \mathcal P(X)이다. 이를 이산 시그마 대수(영어: discrete sigma-algebra)라고 한다.
  • X의 분할 X=\bigsqcup_{A\in P}A이 주어진다면, \{\bigcup Q|Q\subset P\}X 위의 시그마 대수를 이룬다.
  • 위상공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 보렐 시그마 대수라고 한다.

유한 집합 위의 시그마 대수[편집]

유한 집합 X 위의 모든 시그마 대수는 X분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 시그마 대수는 그 분할일대일 대응하며, 크기가 n=0,1,2,\dots인 유한 집합 위의 시그마 대수의 수는 벨 수

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (OEIS의 수열 A000110)

이다.

예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 \{a,b,c\} 위의 분할과 시그마 대수들은 다음과 같다.

분할 시그마 대수 비고
{a, b, c} {}, {a,b,c} 자명 시그마 대수
{a}, {b, c} {}, {a}, {b, c}, {a, b, c}
{a, b}, {c} {}, {a, b}, {c}, {a, b, c}
{a}, {b}, {c} {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} 이산 시그마 대수

바깥 고리[편집]