스핀 접속

미분기하학과 일반 상대성 이론에서 스핀 접속(spin接續, 영어: spin connection)은 스피너 다발 위에 존재하는 코쥘 접속이다. 아핀 접속으로부터 정의할 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$의 접다발 $\mathrm {T} M$의 코쥘 접속 $\nabla$
• $M$ 위의 (국소) 필바인 $e_{1}^{\mu },\dotsc ,e_{n}^{\mu }\in \Gamma (\mathrm {T} M)$

$a,b,c,\dots$가 필바인 지수, $\mu ,\nu ,\rho ,\dots$가 시공간 벡터 지수를 나타낸다고 하자.

그렇다면, 각 점에서 필바인은 접공간의 기저를 이루므로, 다음을 정의할 수 있다.

$\nabla _{\mu }e_{b}^{\nu }=\omega _{\mu }{}^{a}{}_{b}e_{a}^{\nu }$

즉,

$\omega _{\mu }{}^{a}{}_{b}=e_{\nu }^{a}\nabla _{\mu }e_{b}^{\nu }=e_{\nu }^{a}\left(\partial _{\mu }e_{b}^{\nu }+\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }e_{b}^{\rho }\right)=e^{\nu a}\nabla _{\mu }e_{\nu b}=e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu b}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }e_{\rho b})$

여기서 $\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }$는 ($e$로 정의된 리만 계량에 대한) 크리스토펠 기호, $e_{\mu }^{a}$는 필바인이다.

이는 1차 미분 형식들로 이루어진 $n\times n$ 반대칭 행렬로 여겨질 수 있다. 즉,

$\eta _{ac}\omega _{\mu }{}^{c}{}_{b}=-\eta _{bc}\omega _{\mu }{}^{c}{}_{a}$

이다. 여기서 $\eta$는 필바인 위의 이차 형식(계량)이다.

스피너 다발의 접속

스핀 접속은 이름과 같이 스피너 다발의 접속의 성분을 구성한다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• 부호수 $(m,n)$의 준 리만 다양체 $(M,g)$. 그 틀다발이 $P\twoheadrightarrow M$이라고 하자. 즉, $\mathrm {T} M=P\times _{\operatorname {SO} (m,n)}\mathbb {R} ^{m+n}$이다.
• 스핀 구조, 즉 $P$의 $\operatorname {Spin} (m,n)$으로의 올림 ${\tilde {P}}\twoheadrightarrow P\twoheadrightarrow M$.

그렇다면, (디랙) 스피너 다발

$S\twoheadrightarrow M$

을 정의할 수 있다. 이는 $2^{\lfloor (m+n)/2\rfloor }$차원 복소수 벡터 다발이다.

그렇다면, $S$ 위에는 다음과 같은 코쥘 접속이 존재한다. 성분으로서 이는 다음과 같다.

$\nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }-{\frac {1}{4}}\mathrm {i} \omega _{\mu }^{ab}\sigma _{ab}\right)\psi$

여기서

$\sigma \in \Gamma (\operatorname {End} (S)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {so}}(m,n)^{*})$

는 $S$ 위의 ${\mathfrak {so}}(m,n)$ 표현이다.

이것은 리만 기하학에 사용된다.

성질

만약 비틀림이 없는 경우, 스핀 접속은 다음을 만족시킨다.

$(\mathrm {d} e^{a})_{\mu \nu }+(\omega ^{a}{}_{b}\wedge e^{b})_{\mu \nu }=0$

여기서 $d$는 1차 미분 형식의 외미분, $\wedge$는 두 1차 미분 형식의 쐐기곱이다.

외부 링크

• “Spin connection”. 《nLab》 (영어). 
• “Transferring connection information to associated bundles and back”. 《Math Overflow》 (영어).