스튜어트의 정리

스튜어트의 정리(영어: Stewart's theorem)는 삼각형을 구성하는 선분들의 길이에 관한 식이다. 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름에서 왔다.

정리

$a, b, c$는 삼각형의 세 변의 길이라고 하고, $d$는 변 $a$와 그 반대편의 꼭지점을 잇는 선분의 길이라고 하자. $d$가 변 $a$를 길이 $n$, $m$으로 나눈다고 하면, 다음 관계가 성립한다.

$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,$

특히 $m = n$일 경우 $d$는 중선이 되고 이때 관계식은 중선 정리가 된다.

증명

$\theta$는 $m$과 $d$가 이루는 각이고, $\theta'$는 $n$과 $d$가 이루는 각이라 하자. 두 각을 합하면 180도 이므로 코사인의 성질 때문에 $\cos \theta' = -\cos \theta$이다. 코사인 법칙에 의해 다음 식이 성립한다.

$\begin{align} c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\ b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\ &= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}$

첫 번째 식에 $n$을 곱하고, 두 번째 식에 $m$을 곱하여 더해서 $\cos \theta$를 제거하면 다음을 얻는다.

$\begin{align} &b^2m + c^2n \\ &= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\ &= (m+n)(mn + d^2) \\ &= a(mn + d^2) \\ \end{align}$

참조

• 아폴로니우스의 정리