스튜어트의 정리

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스튜어트의 정리(영어: Stewart's theorem)는 삼각형을 구성하는 선분들의 길이에 관한 이다. 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름에서 왔다.

정리[편집]

Stewarts thm.png

a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이라고 하고, d는 변 a와 그 반대편의 꼭지점을 잇는 선분의 길이라고 하자. d가 변 a를 길이 n, m으로 나눈다고 하면, 다음 관계가 성립한다.

b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,

특히 m = n일 경우 d는 중선이 되고 이때 관계식은 중선 정리가 된다.

증명[편집]

\thetamd가 이루는 각이고, \theta'nd가 이루는 각이라 하자. 두 각을 합하면 180도 이므로 코사인의 성질 때문에 \cos \theta' = -\cos \theta이다. 코사인 법칙에 의해 다음 식이 성립한다.


\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
b^2  &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}

첫 번째 식에 n을 곱하고, 두 번째 식에 m을 곱하여 더해서 \cos \theta를 제거하면 다음을 얻는다.


\begin{align}
&b^2m + c^2n \\
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(mn + d^2) \\
\end{align}

참조[편집]