스튀름-리우빌 이론

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수학에서, 스튀름-리우빌 이론(영어: Sturm–Liouville theory)은 2차 선형 미분 방정식을 다루는 이론이다. 자크 샤를 프랑수아 스튀름조제프 리우빌의 이름을 땄다. 물리학에 널리 응용된다.

정의[편집]

미지의 함수 y(x)에 대한, 다음과 같은 모양의 선형 상미분 방정식스튀름-리우빌 방정식(Sturm–Liouville equation)이라고 한다.

 -\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y

이 방정식은 선형 방정식이므로, pq, \lambda의 값에 따라 해의 공간은 벡터공간을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제는 해의 공간이 0차원이 아닌 \lambda들의 값을 구하는 문제이다. 즉, 이는 미분작용소

-\frac1{w(x)}\frac d{dx}p(x)\frac d{dx}+\frac{q(x)}{w(x)}

고윳값을 구하는 문제이다.

성질[편집]

이 형태의 미분방정식은 그 해로 주어지는 함수가 서로 다른 고유치에 대해 직교성을 가지는 성질이 있다.

모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, y스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원[편집]

알반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,

양변을 P(x)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자

e^{\int {Q(x) / P(x)}\,dx},

를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

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베셀 방정식

x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0\,

은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.

(xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0.\,

르장드르 방정식은,

(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0\;\!

쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다. D(1 − x2) = −2x 이기 때문이다. 따라서, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.

[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0\;\!

좀 더 복잡한 예로 다음 미분 방정식을 생각하자.

x^3y''-xy'+2y=0.\,

양변을 x3으로 나누고:

y''-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0

다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.

e^{\int -{x / x^3}\,dx}=e^{\int -{1 / x^2}\, dx}=e^{1 / x},

그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.

e^{1 / x}y''-{e^{1 / x} \over x^2} y'+ {2 e^{1 / x} \over x^3} y = 0

이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,

D e^{1 / x} = -{e^{1 / x} \over x^2}

이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분방정식과 같다.

(e^{1 / x}y')'+{2 e^{1 / x} \over x^3} y =0.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]