스토크스 현상

복소해석학에서 스토크스 현상(Stokes現象, 영어: Stokes phenomenon)은 전해석 함수의 점근적 근사가 분지절단을 보이는 현상이다.

정의

어떤 전해석 함수 $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$가 $|z|\gg 1$에 대하여 다음과 같이 근사된다고 하자.

$f(z)\approx g(z)\qquad (|z|\gg 1)$

여기서 $g(z)$는 전해석 함수가 아니며, 분지절단을 가질 수 있다. 이 경우, $f$가 스토크스 현상을 보인다고 한다.

예

$\operatorname {Ai} (z)$의 스토크스 선들의 모양

에어리 함수 $\operatorname {Ai} (z)$는 ${\widehat {\infty }}$에서 본질적 특이점을 갖는 전해석 함수이다. 임의의 편각 $\operatorname {arg} z$에 대하여, 에어리 함수는 다음과 같이 근사된다.

$\operatorname {Ai} (z)\sim C_{+}x^{-1/4}\exp(+(2/3)x^{3/2})+C_{-}x^{-1/4}\exp(-(2/3)x^{3/2})$

이 근삿값은 전해석 함수가 아니므로, 스토크스 현상이 발생하는 것을 볼 수 있다.

이와 같이, 일반적으로 점근적 근사는 여러 개의 점근적 항으로 구성되어 있다. 대부분의 편각에서는 이 항 가운데 하나만이 지수적으로 우세하게 되고, 따라서 나머지 항들은 버릴 수 있다. 여러 항들의 크기가 일치하게 되는 점들을 반 스토크스 선(영어: anti-Stokes line)이라고 한다. 이러한 점에서는 점근적 근사의 우세한 항이 바뀌게 된다.

열등한 항의 계수는 스토크스 선(영어: Stokes line)에서 급격한 변화를 겪는다. 스토크스 선은 우세한 항이 열등한 항보다 상대적으로 가장 큰 값을 갖는 선이다.

$\operatorname {Ai} (z)$의 스토크스 선들은

$\operatorname {arg} (z)=2n\pi /3\qquad (n\in \mathbb {Z} )$

이며, 반 스토크스 선들은

$\operatorname {arg} (z)=(2n+1)\pi /3\qquad (n\in \mathbb {Z} )$

이다. 스토크스 선 근처에서 $C_{+}$와 $C_{-}$의 값은 급격히 변할 수 있다.

역사

조지 가브리엘 스토크스가 에어리 함수를 연구하는 과정에서 발견하였다.

참고 문헌

• Kowalenko, Victor (2009). 《The Stokes phenomenon, Borel summation and Mellin-Barnes regularisation》 (영어). Bentham. doi:10.2174/97816080501091090101. ISBN 978-1-60805-097-0. 
• Meyer, R. E. (1989년 9월). “A simple explanation of the Stokes phenomenon”. 《Society for Industrial and Applied Mathematics Review》 (영어) 31 (3): 435–445. doi:10.1137/1031090. JSTOR 2031404. Zbl 0679.34068. 
• Sabbah, Claude (2013). 《Introduction to Stokes structures》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 2060. Springer. arXiv:0912.2762. Bibcode:2009arXiv0912.2762S. doi:10.1007/978-3-642-31695-1. ISBN 978-3-642-31694-4. ISSN 0075-8434. Zbl 1260.34002. 
• Berry, M. V. (1988). “Stokes’ phenomenon; smoothing a Victorian discontinuity”. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 68 (1): 211-221. doi:10.1007/BF02698550. ISSN 0073-8301. MR 1001456. Zbl 0701.58012. 
• Mariño, Marcos (2012). “Lectures on non-perturbative effects in large N gauge theories, matrix models and strings” (영어). arXiv:1206.6272. Bibcode:2012arXiv1206.6272M. 

외부 링크

• “Stokes phenomenon”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Stokes phenomenon”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Stokes phenomenon”. 《nLab》 (영어).