슈어-혼 정리

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슈어-혼 정리(Schur-Horn theorem, -定理)는 선형대수학에서, 에르미트 행렬대각성분과 그 고유값 간의 관계에 대한 조건을 제공하는 정리이다. 독일수학자 이사이 슈어(Issai Schur)와 미국의 수학자 앨프리드 혼(Alfred Horn)의 이름이 붙어 있다.

공식화[편집]

어떤 두 n차원 실수 벡터 \mathbf{d}=\{d_i\}_{i=1}^N, \mathbf{\lambda}=\{\lambda_i\}_{i=1}^N 가 주어져서 모두 성분이 증가하지 않는 순서로 배열되어 있다고 하자. 그러면, 이때 그 대각성분들이 \{d_i\}_{i=1}^N 이고 고유값들이 \{\lambda_i\}_{i=1}^N 인 n×n 에르미트 행렬이 존재할 필요충분조건은 다음 두 식으로 주어진다.

  1. \sum_{i=1}^n d_i \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i \qquad n=1,2,\ldots,N
  2. \sum_{i=1}^N d_i= \sum_{i=1}^N \lambda_i.

참고 문헌[편집]

  • Alfred Horn, "Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix", American Journal of Mathematics 76 (1954), pp. 620–630.
  • Issai Schur, Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie, Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 22 (1923), pp. 9–20.

바깥 고리[편집]