슈바르치안

슈바르치안 (영어: Schwarzian)은 주어진 복소함수가 뫼비우스 변환에 얼마나 가까운지 나타내는 미분 연산자다. 헤르만 아만두스 슈바르츠(독일어: Hermann Amandus Schwarz)가 도입하였다.

정의

임의의 유리형함수 $f\colon\mathbb C\to\mathbb C$를 생각하자. 그렇다면 그 슈바르치안 $Sf$는 다음과 같이 정의한다.

$Sf=\frac{f'''}{f'}-\frac32\left(\frac{f''}{f'}\right)^2.$

만약 $f$가 뫼비우스 변환이라면, $Sf=0$이다. 반대로, 만약 $Sf=0$이라면 $f$는 뫼비우스 변환이다.