소멸파

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소멸파(消滅波, Evanescent wave)는 지수함수적으로 세기가 감소하는 전자기파로 near-field wave의 일종이다. 소멸파는 파동 방정식에서 유도되는 평면파 해의 하나로 특정한 wave motion property를 갖는 매질에서 발생하는 현상이다.

도체 속에서의 전자기파[1][편집]

일반적으로 도체 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 \vec{J_{free}} \ne 0이다. 옴의 법칙에 따르면, \vec{J_{free}}=\sigma\vec{E}이다. 따라서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 정리된다.

 \vec{\triangledown}\cdot\vec{E} = \frac{\rho_{free}}{\epsilon}

 \vec{\triangledown}\cdot\vec{B} = 0

 \vec{\triangledown}\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

 \vec{\triangledown}\times\vec{B} = \mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}


이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다.

 \frac{\partial \rho_{free}}{\partial t} = -\sigma(\vec{\triangledown}\cdot\vec{E})=-\frac{\sigma}{\epsilon}\rho_{free}


따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다.

 \rho_{free}(t) = e^{-\frac{\sigma}{\epsilon}t}\rho_{free}(0)


이 때, 고유시간  \tau=\epsilon/\sigma 는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는  \sigma=\infty 이므로  \tau=0 이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다.

 \vec{\triangledown}\cdot\vec{E} = 0

 \vec{\triangledown}\cdot\vec{B} = 0

 \vec{\triangledown}\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

 \vec{\triangledown}\times\vec{B} = \mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}


이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다.

 \triangledown^2\vec{E} = \mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}+\mu\sigma\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

 \triangledown^2\vec{B} = \mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}+\mu\sigma\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}


이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다.

 \widetilde{\vec{E}}(z,t) = \widetilde{\vec{E_0}}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)}

 \widetilde{\vec{B}}(z,t) = \widetilde{\vec{B_0}}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)}


이 때,  \widetilde{k}^2=\mu\epsilon\omega^2+i\mu\sigma\omega 이므로,  \widetilde{k} 는 복소수이고,  \widetilde{k} = k+i\kappa 라고 할 때,

 k = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2}}[\sqrt{1+(\frac{\sigma}{\epsilon\omega})^2}+1]^\frac{1}{2}

 \kappa = \omega\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{2}}[\sqrt{1+(\frac{\sigma}{\epsilon\omega})^2}-1]^\frac{1}{2}


로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, 실수 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다.

 \vec{E}(z,t) = E_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta_{E})

 \vec{B}(z,t) = B_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta_{E}+\phi)


이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다.


이방성(anisotropic) 매질에서의 전자기파 [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18][편집]

소개[편집]

평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다.

소멸파에 대한 Christoffel equation[편집]

조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다.

 u_{n} = U_{n}e^{i\omega(m_{j}x_{j}-t)}

(이 때, \vec{u}는 변위벡터, \vec{U}는 단위 편광 벡터,  \omega 는 각속도 \vec{m}은 slowness 벡터이다. 그리고 우리가 알고 있듯이 일반적으로 \vec{k}=\omega\vec{m}이다.)


이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자.

 m_{j} = m_{j}^{re} +im_{j}^{im}

 u_{n}=U_{n}e^{i\omega(m_{j}^{re}x_{j}-t)-\omega m_{j}^{im}x_{j}}


이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다.

 \rho\frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}-c_{ijkl}\frac{\partial^{2}u_{k}}{\partial x_{j} \partial x{l}}=0

(일반적으로 c_{ijkl}은 christoffel matrix라고 물리우며,  G_{ik} 로 쓰인다. 여기서  \delta_{ik} 는 Kronecker symbol이다.)


소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 변위 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는 \ vec{m}, \vec{U} 에 대한 coupled equation을 준다.

지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor  c_{ijkl} 는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다.

 |\vec{m}^{re}|^{2} = \frac{1}{V^2}+|\vec{m}^{im}|^2

 \vec{m}^{re} \cdot \vec{m}^{im}=0

(이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고,  \vec{m}^{im} 에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과  \vec{m}^{re} 에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다.


 \vec{m}^{im} 의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도( \frac{1}{|\vec{m}^{re}|} )는  |\vec{m}^{im}| 의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다.

이 때, 소멸파는 [ x_{1} ,  x_{2} ] plane으로 진행하며,  x_{3} 방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [ x_{1} ,  x_{3} ]에서 다루기에 충분하다. 따라서  m_{2}=0 이다.

 \vec{m}^{re}=\{m_{1}^{re},0,0\}, \vec{m}^{im}=\{0,0,m_{3}^{im}\}


따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다.

 u_{n} = U_{n}e^{i\omega(m_{1}x_{1}-t)-\omega m_{3}x_{3}}


그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를  c_{ijkl}m_{j}m_{l}-\rho\delta_{ik}=0 에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다.

 [c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0

 [c_{66}(m_{1}^{re})^2-c_{55}(m_{3}^{im})^2-\rho]U_2=0

 i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{3}=0


여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다.


SH-wave에 대한 정확한 해[편집]

SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [x_{1}, x_{3}]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다.

 c_{66}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho =0


이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{hor,SH}^{2}}+\frac{c_{55}}{c_{66}}m_{3}^{2} = \frac{1}{1+2\gamma}(\frac{1}{V_{S0}^{2}+m_{3}^{2}})

 V_{hor,SH} = \sqrt{\frac{c_{66}}{\rho}} = V_{S0}\sqrt{1+2\gamma}

(여기서  \gamma 는 Thomsen anisotropy parameter이며,  \gamma=\frac{c_{66}-c_{55}}{2c_{55}} 이고,  V_{S0} 는 shear-wave vertical velocity로  V_{S0}=\sqrt{\frac{c_{55}}{\rho}} 이다. 또한  V_{hor,SH} 는 homogeneous SH-wave의 수평 속도이다.)


등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는  V_{hor,SH} 보다  |m_{3}| 만큼 작았다. 일반적으로  \gamma 는 0보다 크기 때문에 이는 주어진  m_{1} 값에 대해  m_{3}^{2} 값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다.


P-wave와 SV-wave의 정확한 해[편집]

P-wave와 SV-wave는 각각

 [c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0

 i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho]U_{3}=0

에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터  \vec{U} 에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다.

등방성 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해  U_{1}, U_{3} 를 각각 실수, 허수로 정하였다.

(단, 위의 두 식에선 편광 성분들 사이의 비율만이 주어져 있기 때문에  U_{1}, U_{3} 는 언제든지 complex로 정할 수 있다.)

만일  U_{1} 이 실수이고,  U_{3}=i|U_{3}| 라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다.

 (c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho)U_{1}-(c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}|U_{3}|=0

 (c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}U_{1}+(c_{55}m_{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho)|U_{3}|=0


위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는  U_{1}  |U_{3}| 에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로,

 (c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho)(c_{55}m{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho)+(c_{13}+c_{55})^{2}m_{1}^{2}m_{3}^{2}=0


P-wave에 대한 약한 이방성 근사[편집]

 m_{1}  m_{3} 에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다.하지만 P-wave에서  |m_{1}|  |m_{3}| 보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

 m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{hor}^{2}}+m_{3}^{2}(1-4\epsilon+2\delta)-2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta)

(단,  V_{hor} = V_{P0}\sqrt{1+2\epsilon} )


만일  \epsilon=\delta=0 이라면  m_{1}^{2}=\frac{1}{V_{P0}^{2}}+m_{3}^{2} 이므로,

 m_{1}  m_{3} 가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다.

만일  \epsilon  \delta  V_{hor}  m_{3}^{2} 항에 대해 큰 변화를 주고,  m_{3}^{4} 항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

 \frac{m_{1}^{2}}{\frac{1}{V_{P0}^{2}}+m_{3}^{2}} = 1-2\epsilon-2m_{3}^{2}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta)


 m_{3}V_{P0} 의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로  \epsilon 에 의해서 조정된다.

일반적인 TI 모델은  \epsilon > 0, \epsilon > \delta 인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진  m_{3} 에 대해  m_{1} 를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인  m_{1} 에 대해서 이방성 성분이  m_{3} 을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다.


SV-wave에 대한 약한 이방성 근사[편집]

P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다.

 m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{S0}^{2}}+m_{3}^{2}(1+2\sigma)+2m_{3}^{4}V_{S0}^{2}\sigma


그리고  \rho = (V_{P0}^{2}/V_{S0}^{2})(\epsilon-\delta) 이므로,

 m_{1}^{2} = \frac{1}{V_{S0}^{2}}+m_{3}^{2}(1+2\sigma)+2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon-\delta)


이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도  V_{S0} 와 같다.

일반적으로  \sigma 는 0보다 크기 때문에 이는  m_{3} 를 줄이기 때문에, 고정된  m_{1} 에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다.

주석[편집]

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