섬세 층

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수학에서, 섬세층(fine sheaf)은 단위 분할이 항상 가능한 이다.

정의[편집]

위상 공간 X 의의 층 \mathcal F이 주어졌다고 하자. X 열린 덮개에 대하여, 주어진 층의 자기준동형사상(endomorphism)들의 집단이 있는데, 이 집단의 각각의 원소는 주어진 덮개 안의 단 하나의 열린 집합 안에서만 0이 아니며, 또 이 모든 사상들의 합이 1이 된다면, \mathcal F섬세층이라고 한다.

단위 분할의 개념은 사실은 파라콤팩트 하우스도르프 공간들에 대해서만 정의될 수 있으므로, 섬세 층이 논의되고 있다는 것은 이미 주어진 위상 공간이 파라콤팩트 하우스도르프 공간임을 가정하는 것이다.

성질[편집]

섬세층의 중요 성질은 바로, 차수 0인 코호몰로지 군을 제외한 모든 높은 차수의 코호몰로지 군이 0이 된다는 것이다. 따라서 어떤 층이 섬세 층이면 당연히 비순환층(acyclic sheaf)이 된다. 이것은 복소 대수기하학에서, 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 코호몰로지 군들을 계산할 수 있다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.

[편집]

전형적인 섬세 층들의 예로는, 다양체위에서의 연속 함수들의 층, 미분 다양체위에서의 매끈한 함수들의 층 등이 있다. 그러나, 복소 다양체상에서의 복소해석함수들의 층은 섬세 층이 될 수 없다.