섬세 층

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섬세 층(fine sheaf)이라는 것은, 위상 공간 X위에 정의된 (sheaf)으로, 그 위에서의 단위분할이 가능한 것을 뜻한다.

좀 더 정확하게 말하자면, X의 임의의 열린 덮개에 대하여, 주어진 층의 자기준동형사상(endomorphism)들의 집단이 있는데, 이 집단의 각각의 원소는 주어진 덮개 안의 단 하나의 열린 집합 안에서만 0이 아니며, 또 이 모든 사상들의 합이 1이 되는 것을 뜻한다.

단위분할의 개념은 사실은 파라컴팩트 하우스도르프 공간들에 대해서만 정의될 수 있으므로, 섬세 층이 논의되고 있다는 것은 이미 주어진 위상 공간이 파라컴팩트 하우스도르프 공간임을 가정하는 것이다.

전형적인 섬세 층들의 예제로는, 위상 다양체위에서의 연속함수들의 층, 미분 다양체위에서의 매끈한 함수들의 층 등이 있다. 그러나, 복소 다양체상에서의 복소해석함수들의 층은 섬세 층이 될 수 없다.

섬세 층의 중요 성질은 바로, 차수 0인 코호몰로지 군을 제외한 모든 높은 차수의 코호몰로지 군이 0이 된다는 것이다. 따라서 어떤 층이 섬세 층이면 당연히 acyclic 층이 된다. 이것은 복소 대수기하학에서, 단사 분해(injective resolution) 대신에 섬세 층을 이용해서 다른 주어진 층들의 코호몰로지 군들을 계산할 수 있게 해준다. 돌보 분해(Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.