선형변환

선형변환(linear transformation), 선형 연산자(linear operator)는 벡터 합과 스칼라 곱 성질을 만족하는 벡터 공간 사이의 함수이다. 선형 변환에 속하는 함수는 선형성을 만족한다고 한다.

정의

체 $K$를 기반으로 한 벡터 공간 $V$, $W$에 대해, $V$에 속하는 임의의 두 벡터 $x, y$에 대해

$f(x+y) = f(x) + f(y)$

가 성립하고, 또한 $K$에 속하는 임의의 스칼라 $a$에 대해

$f(ax) = af(x)$

를 만족하는 함수 $f : V \to W$는 선형변환이라고 정의한다.

위의 정의를 이용하면 다음과 같은 표현을 사용할 수도 있다. 모든 선형변환은 벡터 $x_1, \cdots , x_m$와 스칼라 $a_1, \cdots , a_m$에 대해

$f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)$

의 공식을 만족한다.

예제

선형변환의 한 예로 $n$ 차원 열벡터 $\mathbf x$, $m$차원 열벡터 $\mathbf b$, $m \times n$ 행렬 $A$에 대해 $A\mathbf{x=b}$의 연산을 하는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이때 행렬 $A$는 선형변환을 정의한다.

선형변환은 앞의 예와 같이 벡터와 행렬의 곱의 연산으로 표현하는 경우가 많다.

다음은 행렬로 표현한 여러가지 2차원 선형변환의 예이다.

• 시계 방향으로 90도 회전:

  $A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}$

• 시계 반대방향으로 90도 회전:

  $A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$

• x 축에 대해 대칭 이동:

  $A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$

• 모든 방향에 대해 2배 크기 확대:

  $A=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}$

• 찌그러트림 :

  $A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & r\end{bmatrix}$

• y 축에 영사 :

  $A=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$