순서수

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\omega^\omega 이하의 순서수들의 형상화
수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

집합론에서, 순서수(順序數, 영어: ordinal)는 정렬집합들의 "길이"를 측정하는 의 일종이다. 자연수를 확장하며, 자연수들의 정렬집합과 같은 무한 정렬집합들의 크기를 측정하는 무한 순서수들이 존재한다.

개론[편집]

자연수는 집합의 크기를 표현하기 위해 사용되기도 하고, 순서대로 늘어선 수열에서 원소의 위치를 나타내기 위해 사용되기도 한다. 이 두 용도는 유한집합의 경우 크게 다르지 않으나, 무한집합의 경우에는 이 구분이 중요해진다. 전자 쪽을 확장한 것이 기수이고, 후자 쪽을 확장한 것이 순서수이다.

기수는 아무런 구조도 갖지 않는 집합에 대해서도 부여할 수 있지만, 순서수는 정렬집합에 대해서만 정의되며, 실제로 정렬순서의 개념과 순서수의 개념에는 매우 밀접한 관련이 있다. 간단히 말해 정렬순서란 무한히 감소하는 수열이 존재하지 않는 전순서를 말한다. (물론 무한히 증가하는 수열은 존재할 수 있다.) 임의의 전순서 집합에 대해 가장 작은 원소를 0이라 하고 그 다음 원소를 1이라 하는 식으로 그 집합의 원소들을 순서수를 이용해 순서매길 수 있으며, 또한 이 집합의 "길이"를 여기에서 집합의 원소에 대응되지 않는 가장 작은 순서수로 정의할 수 있다. 이 "길이"를 집합의 순서형(order type)이라고 한다.

정의[편집]

동치류를 이용한 정의[편집]

기수를 모든 집합의 전단사함수에 대한 동치류로 정의할 수 있는 것처럼, 순서수는 모든 정렬집합의 순서 동형에 대한 동치류로 정의할 수 있다. 그러나 이러한 정의에 따르면 각 순서수는 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합이 아니며, 고유모임이 되므로 기술적으로 문제가 있다. (예를 들어, 순서수의 모임 \operatorname{Ord}고유모임들을 원소를 가져야 하므로 정의할 수 없다.)

형 이론이나 콰인의 새 기초(New Foundations)등에서는 이 정의가 문제가 되지 않는다. 이 정의는 형 이론을 사용하는 《수학 원리》에 등장한다.

폰 노이만 정의[편집]

집합론적 문제를 피하기 위해, 정렬집합의 순서 동형 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이 정의는 존 폰 노이만이 제시하였고,[1] 오늘날 표준적인 정의다. 이에 따르면, 순서수 S는 다음 두 성질들을 만족시키는 집합이다.

  • 모든 T\in S에 대하여, T\subset S이다.
  • S의 원소들의 포함 관계 \subset전순서를 이룬다.

위의 정의를 만족하는 집합 S는 정칙성 공리(axiom of regularity)에 따라 자동적으로 정렬집합이 된다. 모든 정렬집합이 정확히 하나의 순서수와 순서동형이라는 것은 초한귀납법을 이용해 보일 수 있다.

산술 연산[편집]

순서수들에 대해 덧셈, 곱셈, 지수 연산을 정의하는 것이 가능하다. 각 연산은 연산 결과에 해당하는 정렬집합을 직접 만들어내는 방법으로 정의할 수도 있고, 초한귀납법을 이용해 정의할 수도 있다.

덧셈[편집]

두 순서수 α, β의 합은 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.

  • \alpha + 0 = \alpha \;
  • \alpha + (\beta +1 )  = (\alpha + \beta ) + 1 \;

만약 β 가 0이 아닌 극한순서수라면

  • \alpha + \beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha + \gamma

서로소인 두 정렬집합 S와 T의 합집합에 정렬순서를 다음과 같이 부여한다(만약 두 집합이 서로소가 아니라면, 그들과 순서동형이며 서로소인 S×{0}과 T×{1}로 대체하면 된다): "임의의 S의 원소는 임의의 T의 원소보다 작다." (S와 T는 원래 갖고 있던 순서를 그대로 유지한다.) 이 덧셈은 결합법칙을 만족하며 자연수의 덧셈의 확장이다.

곱셈[편집]

두 순서수 α, β의 곱은 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.

  • \alpha 0 =0
  • \alpha(\beta +1 )  = \alpha\beta + \alpha

만약 β 가 0이 아닌 극한순서수이면

  • \alpha\beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha \gamma

거듭제곱[편집]

두 순서수 α, β의 거듭제곱은 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.

  • \alpha^0 =1
  • \alpha^{\beta +1 }  = \alpha^\beta \cdot \alpha

만약 β 가 0이 아닌 극한순서수이면

  • \alpha^\beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha^\gamma

여기서, 이 연산은 기수의 거듭제곱 연산과는 다름에 주의하자.

성질[편집]

순서수의 모임 \operatorname{Ord}고유모임이다. 이 사실을 부랄리포르티 역설이라고 한다. \operatorname{Ord}의 임의의 부분집합에 대하여, 순서수의 순서 \le정렬순서이다. 이는 자연수 집합이 정렬집합이라는 것의 확장이며, 이 덕분에 순서수에 대해 초한귀납법을 자유로이 사용할 수 있다.

폰 노이만 정의를 사용하고, 선택공리를 가정하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • \alpha가 순서수이며, \beta\in\alpha라면 \beta 또한 순서수이다.
  • 순서수 \alpha\beta에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
    • \alpha<\beta
    • \alpha\in\beta
    • \alpha\subsetneq\beta
  • 순서수 \alpha에 대하여, \alpha=\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\}이다. 즉, 순서수는 그보다 작은 모든 순서수들의 집합이다.
  • 임의의 순서수의 집합 S\subset\operatorname{Ord}상한\sup S=\bigcup S이다.
  • 순서수 \alpha에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
    • \alpha는 순서수로서 유한하다. 즉, \alpha<\omega이다.
    • \alpha는 (폰 노이만 정의에 따라) 집합으로서 유한 집합이다. 즉, |\alpha|<\aleph_0이다.
    • (\alpha,\le)의 역순서 (\alpha,\ge)정렬순서이다. 즉, \alpha에서 모든 부분집합이 최대 원소를 갖는다.
    • \alpha순서 위상을 부여하였을 때, 극한점을 갖지 않는다.

산술 연산의 성질[편집]

임의의 서수 \alpha,\beta,\gamma에 대하여 다음이 성립한다.

덧셈의 성질
\eta = \bigcup_{\zeta < \gamma} \delta_\zeta = \sup_{\zeta < \gamma} \delta_\zeta

로 정의하면 다음이 성립한다.

\alpha + \eta = \bigcup_{\zeta < \gamma} \alpha + \delta_\zeta
곱셈의 성질

그러나 곱셈은 교환 법칙 및 좌측 분배 법칙을 만족시키지 않는다.

2\omega=\omega\ne\omega2
(\omega+1)2=\omega+1+\omega+1=\omega2+1\ne\omega2+2

분류[편집]

모든 순서수들은 0 또는 따름순서수 또는 극한순서수로 분류된다.

유한 순서수[편집]

유한 순서수들은 자연수(음이 아닌 정수)들과 대응된다. 폰 노이만 정의에 따르면, 이들은

0=\varnothing
1=\{0\}=\{\varnothing\}
2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}

등의 집합으로 정의된다.

가산 무한 순서수[편집]

가장 작은 무한 순서수 \omega는 자연수 집합 전체의 순서형이며, 폰 노이만 정의에서는 이는 자연수의 집합과 같다.

\omega=\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}

그 다음에는 \omega+1, \omega+2 등의 순서수들이 존재한다.

\omega+1=\{0,1,2,\dots,\omega\}
\omega+2=\{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1\}

마찬가지로, \omega+\omega=\omega\cdot2는 다음과 같다. (순서수의 곱셈은 가환하지 않으며, 2\omega=\omega\ne\omega\cdot2이다.)

\omega\cdot2=\{0,1,2\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots,\}
\omega\cdot2+1=\{0,1,2\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots,\omega\cdot2\}

마찬가지로, \omega\cdot3,\omega\cdot3+1,\dots 등이 존재한다. 이와 같은 방법으로 만들어지는 모든 순서수(즉, 자연수 m과 n에 대해 ω·m+n으로 나타낼 수 있는 순서수)들의 집합(의 순서형)은 그 자체로 순서수가 되며, 이는 \omega^2이다. 비슷한 방법으로 \omega^3,\omega^4,\dots 등이 존재한다.

\omega,\omega^2,\omega^3,\dots의 극한은 \omega^\omega이고, 마찬가지로 \omega^{\omega^\omega} 등등이 존재한다.

\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\dots의 극한은 \epsilon_0라고 한다. 이 역시 가산 무한 순서수이다. 이는

\omega^{\epsilon_0}=\epsilon_0

을 만족시킨다.

비가산 무한 순서수[편집]

모든 가산 무한 순서수들의 집합의 순서형은 가장 작은 비가산 무한 순서수 \omega_1이다. 이는 가장 작은 비가산 무한 기수 \aleph_1과 같다.

역사[편집]

게오르크 칸토어가 1883년에 도입하였다.[2] 원래 순서수의 동치류로서의 정의는 고유모임이므로 집합론적인 결함이 있었으며, 1923년에 존 폰 노이만이 오늘날 쓰이는 정의를 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) von Neumann, Johann (1923년). Zur Einführung der trasfiniten Zahlen. 《Acta Scientiarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis》 1 (4): 199–208.
  2. (독일어) Cantor, Georg (1883년). 《Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre》. JFM 15.0453.01

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]