서수의 산술

수학의 집합론에서는 서수들에 대해 덧셈, 곱셈, 지수 연산 등을 수행할 수 있다. 각 연산은 연산 결과에 해당하는 정렬순서집합을 직접 만들어내는 방법으로 정의할 수도 있고, 초한귀납법을 이용해 정의할 수도 있다.

덧셈

두 순서수 α, β의 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

• $\alpha + 0 = \alpha \;$
• $\alpha + (\beta +1 ) = (\alpha + \beta ) + 1 \;$

만약 β 가 0이 아닌 극한서수라면

• $\alpha + \beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha + \gamma$

서로소인 두 정렬순서집합 S와 T의 합집합에 정렬순서를 다음과 같이 부여한다(만약 두 집합이 서로소가 아니라면, 그들과 순서동형이며 서로소인 S×{0}과 T×{1}로 대체하면 된다): "임의의 S의 원소는 임의의 T의 원소보다 작다." (S와 T는 원래 갖고 있던 순서를 그대로 유지한다.) 이 덧셈은 결합법칙을 만족하며 자연수의 덧셈의 확장이다.

가장 작은 초한서수는 자연수 전체의 집합인 ω이다. 여기에서 ω+ω는 다음과 같이 시각화할 수 있다:

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

ω에는 바로 이전 원소가 없는 원소가 0 뿐이었지만, ω+ω에는 그런 원소가 0과 0'의 두 개라는 점에서 두 순서집합의 차이를 알 수 있다. 다음은 각각 3 + ω와 ω + 3이다:

0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...

0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'

이 중 전자는 이름만 적절히 바꾸면 ω와 차이가 없지만, 후자에는 ω에 존재하지 않던 최대원소가 존재한다는 점에서 차이가 있다. 따라서 3 + ω = ω ≠ ω + 3이며, 서수의 덧셈은 교환법칙을 만족하지 않는다.

성질

• α + β < α + γ 는 β < γ 와 동치이다.
• α + β = α + γ 는 β = γ 와 동치이다.
• γ를 0이 아닌 극한서수라 하고, δ_ζ를 순서수에 대한 증가함수라 하자. 이때 $\scriptstyle \eta = \bigcup_{\zeta < \gamma} \delta_\zeta = \sup_{\zeta < \gamma} \delta_\zeta$ 로 정의하면 아래 사실이 성립한다.

$\alpha + \eta = \bigcup_{\zeta < \gamma} \alpha + \delta_\zeta$

곱셈

두 순서수 α, β의 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

• $\alpha 0 =0 \;$
• $\alpha(\beta +1 ) = \alpha\beta + \alpha \;$

만약 β 가 0이 아니고 극한서수이면

• $\alpha\beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha \gamma$

지수승

두 순서수 α, β의 지수승은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

• $\alpha^0 =1 \;$
• $\alpha^{\beta +1 } = \alpha^\beta \cdot \alpha \;$

만약 β 가 0이 아니고 극한서수이면

• $\alpha^\beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha^\gamma$

여기서, 이 연산은 기수의 지수승 연산과는 다름에 주의하자.