생일 문제

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모인 사람 수에 따라 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 얼마나 되는지를 보이는 그래프. 가로축이 사람 수, 세로축이 확률을 나타낸다. 23명이 모였을 때 확률이 0.5를 넘어감을 보여 준다.

생일 문제(生日問題)란 확률론에서 유명한 문제로, 몇 명 이상 모이면 그 중에 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률이 충분히 높아지는지를 묻는 문제이다. 얼핏 생각하기에는 생일이 365~366가지이므로 임의의 두 사람의 생일이 같을 확률은 1/365~1/366이고, 따라서 365명쯤은 모여야 생일이 같은 사람이 있을 것이라고 생각하기 쉽다. 그러나 실제로는 23명만 모여도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 50%를 넘고, 57명이 모이면 99%를 넘어간다. 이 사실은 일반인의 직관과 배치되기 때문에 생일 역설이나 생일 패러독스라고도 한다.

[편집] 확률 계산

만약 366명 이상의 사람이 있다면 비둘기집 원리에 따라 생일이 같은 두 사람이 존재해야 한다. 365명 이하의 사람이 있을 경우를 계산한다. $n$ 명의 사람이 있을 때 그 중 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률을 $p (n)$ 이라고 한다면, 반대로 모든 사람의 생일이 다를 확률 $\bar p(n)$ 은 $1 - p (n)$ 이 된다. 먼저 $\bar p(n)$ 을 구해보면, 두번째 사람의 생일은 첫번째 사람과 다르고, 세번째 사람의 생일은 첫번째와 두번째 모두와 달라야 하므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\begin{align} \bar p(n) &= 1 \times \left(1-\frac{1}{365}\right) \times \left(1-\frac{2}{365}\right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right) \\ &= { 365 \times 364 \cdots (365-n+1) \over 365^n } \\ &= { 365! \over 365^n (365-n)!} \end{align}$